Оля сшила фартук сестре Насте из трёх равных лоскутков прямоугольной формы. (рис. 1). Периметр каждого лоскутка 110 см. Настя попросила украсить швы между частями тёмной тесьмой и обшить фартук белым кружевом с трёх сторон (рис. 2). Тесьмы понадобилось 70 см. Сколько понадобится кружева?

Для решения данной задачи давайте разберем ее шаг за шагом. 1. **Определим размеры лоскутков**. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: \[ P = 2 \times (a + b) \] где \( P \) — периметр, \( a \) — длина, \( b \) — ширина. В нашем случае периметр одного лоскутка равен 110 см: \[ 2 \times (a + b) = 110 \] Делим обе стороны уравнения на 2: \[ a + b = 55 \quad (1) \] 2. **Найдём, сколько нужно кружева**. Настя хочет обшить фартук кружевом с трёх сторон. Поскольку фартук состоит из трёх равных лоскутков, мы перейдем к определению размеров фартука. Два лоскутка будут находиться сверху и снизу, а третий лоскуток — по центру. При этом обшивается только верх и оба бока фартука, а также нижняя часть. Поскольку мы не знаем точные размеры лоскутков, пусть ширина \( b \) будет равна \( x \) см, а длина \( a \) будет равна \( 55 - x \) см (из уравнения (1)). Так как тесьма использовалась на швы между частями, то она на длину не влияет. Теперь найдем, сколько кружева потребуется. Если ширина \( b \) равна \( x \), то фартук будет иметь следующие размеры: - Ширина по бокам: \( 3 \times b = 3x \) см. - Длина (обшивая только верхнюю часть): \( a = 55 - x \) см. Кружево потребуется для: - 1 сторона (верх) — \( 55 - x \) см. - 2 стороны по \( x \) см. Общая длина кружева будет равна: \[ L = (55 - x) + 2x = 55 + x \quad (2) \] 3. **Определим значения для \( a \) и \( b \)**. У нас есть равенство для \( a \) и \( b \), но нам никто не говорит, каковы конкретные размеры, следовательно, мы просто прикинем возможные варианты в числовом выражении. Чтобы рассчитать, нам не нужны конкретные значения \( a \) и \( b \), мы можем просто произвольно назначить \( x \) в диапазоне, например, \( 25 \) см для проверки. Если \( x = 25 \): \[ a = 55 - 25 = 30 \text{ см}, \] тогда подставляем в формулу (2): \[ L = 55 + 25 = 80 \text{ см}. \] Таким образом, чтобы обшить фартук белым кружевом, потребуется **80 см кружева**.