Давайте разберем каждое предложение, добавляя частицу "to" там, где это необходимо, и переведем их на русский язык.
I know my friend ... be a wise man.
- Правильный вариант: I know my friend to be a wise man.
- Перевод: Я знаю, что мой друг - мудрый человек.
We would like John ... invite us to his birthday party.
- Правильный вариант: We would like John to invite us to his birthday party.
- Перевод: Мы хотели бы, чтобы Джон пригласил нас на его день рождения.
Don’t let him ... laugh at you!
- Правильный вариант: Don’t let him laugh at you! (В данном случае частица "to" не нужна).
- Перевод: Не позволяй ему смеяться над тобой!
Теперь у нас есть правильные формы предложений с частицей "to" и их переводы на русский язык. Если есть дополнительные вопросы, с радостью отвечу!