Задача 1.14

Для решения задачи 1.14 рассмотрим основные понятия и формулы, которые здесь предъявляются. Дана функция движения \( x = A \cdot t + B \cdot t^3 \), где \( A \) и \( B \) - некоторые константы. Имеются три подзадачи, которые нужно решить: ### 1) Положение точки в исходный момент времени и \( t = 2 \) сек: Для нахождения положения точки, нужно подставить значение времени \( t \) в уравнение движения: - **В исходный момент времени \( t = 0 \):** Подставляем \( t = 0 \) в уравнение: \[ x = A \cdot 0 + B \cdot 0^3 = 0 \] В исходный момент времени \( x = 0 \). - **При \( t = 2 \) сек:** Подставляем \( t = 2 \) в уравнение: \[ x = A \cdot 2 + B \cdot 2^3 = 2A + 8B \] Положение точки при \( t = 2 \) сек: \( x = 2A + 8B \). ### 2) Средняя скорость за время, которое течет с \( t = 0 \) до \( t = 5 \) сек: Средняя скорость \(\overline{v}\) вычисляется по формуле: \[ \overline{v} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} \] В нашем случае \( t_1 = 0 \) и \( t_2 = 5 \). - **При \( t = 5 \):** \[ x(5) = A \cdot 5 + B \cdot 5^3 = 5A + 125B \] Средняя скорость: \[ \overline{v} = \frac{(5A + 125B) - 0}{5 - 0} = \frac{5A + 125B}{5} = A + 25B \] ### 3) Мгновенная скорость в начальный момент времени и момент времени \( t = 2 \) сек: Мгновенная скорость — это производная от функции \( x(t) \) по времени \( t \), то есть: \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = A + 3B \cdot t^2 \] - **В начальный момент \( t = 0 \):** \[ v(0) = A + 3B \cdot 0^2 = A \] - **При \( t = 2 \) сек:** \[ v(2) = A + 3B \cdot 2^2 = A + 12B \] Таким образом, решение задач: 1. Положение: \( x = 0 \) при \( t = 0 \); \( x = 2A + 8B \) при \( t = 2 \). 2. Средняя скорость: \( \overline{v} = A + 25B \). 3. Мгновенная скорость: \( v = A \) при \( t = 0 \); \( v = A + 12B \) при \( t = 2 \).