Задача 1.14
Для решения задачи 1.14 рассмотрим основные понятия и формулы, которые здесь предъявляются.
Дана функция движения \( x = A \cdot t + B \cdot t^3 \), где \( A \) и \( B \) - некоторые константы. Имеются три подзадачи, которые нужно решить:
1) Положение точки в исходный момент времени и \( t = 2 \) сек:
Для нахождения положения точки, нужно подставить значение времени \( t \) в уравнение движения:
В исходный момент времени \( t = 0 \):
Подставляем \( t = 0 \) в уравнение: \[ x = A \cdot 0 + B \cdot 0^3 = 0 \]
В исходный момент времени \( x = 0 \).
При \( t = 2 \) сек:
Подставляем \( t = 2 \) в уравнение: \[ x = A \cdot 2 + B \cdot 2^3 = 2A + 8B \]
Положение точки при \( t = 2 \) сек: \( x = 2A + 8B \).
2) Средняя скорость за время, которое течет с \( t = 0 \) до \( t = 5 \) сек:
Средняя скорость \(\overline{v}\) вычисляется по формуле: \[ \overline{v} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} \]
В нашем случае \( t_1 = 0 \) и \( t_2 = 5 \).
При \( t = 5 \):
\[ x(5) = A \cdot 5 + B \cdot 5^3 = 5A + 125B \]
Средняя скорость: \[ \overline{v} = \frac{(5A + 125B) - 0}{5 - 0} = \frac{5A + 125B}{5} = A + 25B \]
3) Мгновенная скорость в начальный момент времени и момент времени \( t = 2 \) сек:
Мгновенная скорость — это производная от функции \( x(t) \) по времени \( t \), то есть: \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = A + 3B \cdot t^2 \]
В начальный момент \( t = 0 \):
\[ v(0) = A + 3B \cdot 0^2 = A \]
При \( t = 2 \) сек:
\[ v(2) = A + 3B \cdot 2^2 = A + 12B \]
Таким образом, решение задач:
- Положение: \( x = 0 \) при \( t = 0 \); \( x = 2A + 8B \) при \( t = 2 \).
- Средняя скорость: \( \overline{v} = A + 25B \).
- Мгновенная скорость: \( v = A \) при \( t = 0 \); \( v = A + 12B \) при \( t = 2 \).
