Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40.

Чтобы найти площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40, давайте разберем задачу пошагово.

1. Что такое квадрат, описанный около окружности?
   Квадрат, описанный около окружности, означает, что окружность касается всех четырех сторон квадрата. Центр окружности совпадает с центром квадрата.

2. Как связанные радиус окружности и стороны квадрата?
   Для квадрата, описанного около окружности, радиус окружности равен половине диагонали квадрата. Это связано с тем, что диагональ квадрата проходит через центр окружности и соединяет противолежащие вершины квадрата.

3. Находим сторону квадрата:
   Обозначим сторону квадрата как \( s \). Диагональ \( d \) квадрата может быть выражена через сторону следующим образом: \[ d = s\sqrt{2} \]

   Поскольку радиус окружности \( r = 40 \), мы имеем: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{s\sqrt{2}}{2} \] Подставим значение радиуса: \[ 40 = \frac{s\sqrt{2}}{2} \] Умножим обе стороны на 2: \[ 80 = s\sqrt{2} \] Теперь найдем \( s \): \[ s = \frac{80}{\sqrt{2}} = 80 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 40\sqrt{2} \]

4. Находим площадь квадрата:
   Площадь квадрата \( S \) вычисляется по формуле: \[ S = s^2 \] Подставим найденное значение стороны: \[ S = (40\sqrt{2})^2 = 1600 \cdot 2 = 3200 \]

Таким образом, площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40, равна 3200 квадратных единиц.