Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40.

Чтобы найти площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40, давайте разберем задачу пошагово. 1. **Что такое квадрат, описанный около окружности?** Квадрат, описанный около окружности, означает, что окружность касается всех четырех сторон квадрата. Центр окружности совпадает с центром квадрата. 2. **Как связанные радиус окружности и стороны квадрата?** Для квадрата, описанного около окружности, радиус окружности равен половине диагонали квадрата. Это связано с тем, что диагональ квадрата проходит через центр окружности и соединяет противолежащие вершины квадрата. 3. **Находим сторону квадрата:** Обозначим сторону квадрата как \( s \). Диагональ \( d \) квадрата может быть выражена через сторону следующим образом: \[ d = s\sqrt{2} \] Поскольку радиус окружности \( r = 40 \), мы имеем: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{s\sqrt{2}}{2} \] Подставим значение радиуса: \[ 40 = \frac{s\sqrt{2}}{2} \] Умножим обе стороны на 2: \[ 80 = s\sqrt{2} \] Теперь найдем \( s \): \[ s = \frac{80}{\sqrt{2}} = 80 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 40\sqrt{2} \] 4. **Находим площадь квадрата:** Площадь квадрата \( S \) вычисляется по формуле: \[ S = s^2 \] Подставим найденное значение стороны: \[ S = (40\sqrt{2})^2 = 1600 \cdot 2 = 3200 \] Таким образом, площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40, равна **3200 квадратных единиц**.