Реши систему x²+y²=45 и xy=14

Давай решим систему уравнений: 1. \( x^2 + y^2 = 45 \) 2. \( xy = 14 \) Для начала мы можем использовать второе уравнение, чтобы выразить одно из переменных через другое. Это поможет нам упростить ситуацию. ### Шаг 1: Выразим \( y \) через \( x \) Из второго уравнения \( xy = 14 \) выразим \( y \): \[ y = \frac{14}{x} \] ### Шаг 2: Подставим это значение в первое уравнение Теперь подставим \( y \) в первое уравнение \( x^2 + y^2 = 45 \): \[ x^2 + \left(\frac{14}{x}\right)^2 = 45 \] ### Шаг 3: Упростим уравнение Подставляем \( y \): \[ x^2 + \frac{196}{x^2} = 45 \] Теперь умножим всё уравнение на \( x^2 \), чтобы избавиться от дроби: \[ x^4 + 196 = 45x^2 \] ### Шаг 4: Приведем уравнение к стандартному виду Переместим все члены на одну сторону: \[ x^4 - 45x^2 + 196 = 0 \] Теперь мы можем сделать замену переменной. Обозначим \( z = x^2 \). Тогда у нас получится квадратное уравнение: \[ z^2 - 45z + 196 = 0 \] ### Шаг 5: Решим квадратное уравнение Используем формулу для решения квадратного уравнения \( z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): - \( a = 1 \) - \( b = -45 \) - \( c = 196 \) Теперь подставим значения: \[ z = \frac{45 \pm \sqrt{(-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 196}}{2 \cdot 1} \] Сначала вычислим дискриминант: \[ (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 196 = 2025 - 784 = 1241 \] Теперь подставим дискриминант в форму: \[ z = \frac{45 \pm \sqrt{1241}}{2} \] Поскольку \( \sqrt{1241} \) не является целым числом, давай оставим это в таком виде. ### Шаг 6: Найдем значения \( z \) Теперь можем записать два возможных значения: \[ z_1 = \frac{45 + \sqrt{1241}}{2}, \quad z_2 = \frac{45 - \sqrt{1241}}{2} \] Теперь можем найти \( x \): \[ x = \sqrt{z} \] \[ y = \frac{14}{x} \] ### Шаг 7: Находим \( x \) и \( y \) Теперь подставляем найденные значения \( z_1 \) и \( z_2 \) обратно, чтобы найти \( x \) и \( y \). 1. Если \( z_1 \): \[ x_1 = \sqrt{\frac{45 + \sqrt{1241}}{2}}, \quad y_1 = \frac{14}{x_1} \] 2. Если \( z_2 \): \[ x_2 = \sqrt{\frac{45 - \sqrt{1241}}{2}}, \quad y_2 = \frac{14}{x_2} \] ### Итог Таким образом, у нас есть два возможных решения для \( (x, y) \): - \( (x_1, y_1) \) - \( (x_2, y_2) \) Это и есть системное решение уравнений для данной задачи. Если нужны конкретные численные значения, можем подставить численно и посчитать приближенные значения \( x_1, y_1, x_2, y_2 \).