реши систему x²+y²=45 и xy=14
Давай решим систему уравнений:
- \( x^2 + y^2 = 45 \)
- \( xy = 14 \)
Для начала мы можем использовать второе уравнение, чтобы выразить одно из переменных через другое. Это поможет нам упростить ситуацию.
Шаг 1: Выразим \( y \) через \( x \)
Из второго уравнения \( xy = 14 \) выразим \( y \):
\[ y = \frac{14}{x} \]
Шаг 2: Подставим это значение в первое уравнение
Теперь подставим \( y \) в первое уравнение \( x^2 + y^2 = 45 \):
\[ x^2 + \left(\frac{14}{x}\right)^2 = 45 \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Подставляем \( y \):
\[ x^2 + \frac{196}{x^2} = 45 \]
Теперь умножим всё уравнение на \( x^2 \), чтобы избавиться от дроби:
\[ x^4 + 196 = 45x^2 \]
Шаг 4: Приведем уравнение к стандартному виду
Переместим все члены на одну сторону:
\[ x^4 - 45x^2 + 196 = 0 \]
Теперь мы можем сделать замену переменной. Обозначим \( z = x^2 \). Тогда у нас получится квадратное уравнение:
\[ z^2 - 45z + 196 = 0 \]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение
Используем формулу для решения квадратного уравнения \( z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
- \( a = 1 \)
- \( b = -45 \)
- \( c = 196 \)
Теперь подставим значения:
\[ z = \frac{45 \pm \sqrt{(-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 196}}{2 \cdot 1} \]
Сначала вычислим дискриминант:
\[ (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 196 = 2025 - 784 = 1241 \]
Теперь подставим дискриминант в форму:
\[ z = \frac{45 \pm \sqrt{1241}}{2} \]
Поскольку \( \sqrt{1241} \) не является целым числом, давай оставим это в таком виде.
Шаг 6: Найдем значения \( z \)
Теперь можем записать два возможных значения:
\[ z_1 = \frac{45 + \sqrt{1241}}{2}, \quad z_2 = \frac{45 - \sqrt{1241}}{2} \]
Теперь можем найти \( x \):
\[ x = \sqrt{z} \] \[ y = \frac{14}{x} \]
Шаг 7: Находим \( x \) и \( y \)
Теперь подставляем найденные значения \( z_1 \) и \( z_2 \) обратно, чтобы найти \( x \) и \( y \).
- Если \( z_1 \):
\[ x_1 = \sqrt{\frac{45 + \sqrt{1241}}{2}}, \quad y_1 = \frac{14}{x_1} \]
- Если \( z_2 \):
\[ x_2 = \sqrt{\frac{45 - \sqrt{1241}}{2}}, \quad y_2 = \frac{14}{x_2} \]
Итог
Таким образом, у нас есть два возможных решения для \( (x, y) \):
- \( (x_1, y_1) \)
- \( (x_2, y_2) \)
Это и есть системное решение уравнений для данной задачи. Если нужны конкретные численные значения, можем подставить численно и посчитать приближенные значения \( x_1, y_1, x_2, y_2 \).
