Чтобы заполнить пропуски и расставить знаки препинания в предложенном тексте, следуем правилам орфографии и пунктуации. Постараемся объяснять каждый шаг.
Касимов станица, ящая на высоком берегу Оки, принадлежит к числу поселений с удивительной историей. (здесь запятые отделяют пояснительные обороты)
Этот город назвали по имени татарского царя Касима, правившего здесь. (запятая перед "правившего" - это обособление деепричастного оборота)
В середине XV века к князю Василию Тёмному прибежал из Казани, опасаясь за свою жизнь, Касим, сын хана Улу-Махмета. (запятые разделяют вводное слово "опасаясь", а также отделяют причастный и деепричастный обороты)
Московский князь, приветливо приняв беглеца, дал ему Городец-Мещерский с прилегающими землями. (запятая перед "приняв" - это обособление деепричастного оборота)
Касимовское царство, распространяясь на двести вёрст, простояло почти два столетия. (запятая перед "распространяясь" - обособление деепричастного оборота)
Здесь мирно жили русские и татары, перенимая друг у друга ремесленное мастерство. (запятая перед "перенимая" - обособление деепричастного оборота)
Конечно, все они преданно служили Москве. (запятая после "Конечно")
Черна из мусульманских фамилий, причудливой вязью помечают страницы российской истории. (запятая перед "причудливой" - это обособление пояснительного оборота)
В Касимове правили выходцы как из Казани, так и из Астрахани. (запятая перед "так" - в сложносочинённом предложении)
Правителями были и потомки крымских ханов, нашедшие здесь пристанище. (запятая перед "нашедшие" - обособление причастного оборота)
Правил и царевич Арслан, внук едиборского хана Кучума. (запятая перед "внук")
При нём жил племянин того же Кучума, пленённый Ермаком. (запятая перед "пленённый" - обособление причастного оборота)
В этом городе с необычайной историей тесно переплелись русская и татарская культуры. (здесь слово "необычайной" заменяет "н.." с "и", изменяя смысл)
Таким образом, окончательный вариант текста будет следующим:
- Касимов станица, ящая на высоком берегу Оки, принадлежит к числу поселений с удивительной историей. (2) Этот город назвали по имени татарского царя Касима, правившего здесь. (3) В середине XV века к князю Василию Тёмному прибежал из Казани, опасаясь за свою жизнь, Касим, сын хана Улу-Махмета. (4) Московский князь, приветливо приняв беглеца, дал ему Городец-Мещерский с прилегающими землями. (5) Касимовское царство, распространяясь на двести вёрст, простояло почти два столетия. (6) Здесь мирно жили русские и татары, перенимая друг у друга ремесленное мастерство. (7) Конечно, все они преданно служили Москве. (8) Черна из мусульманских фамилий, причудливой вязью помечают страницы российской истории. (9) В Касимове правили выходцы как из Казани, так и из Астрахани. (10) Правителями были и потомки крымских ханов, нашедшие здесь пристанище. (11) Правил и царевич Арслан, внук едиборского хана Кучума. (12) При нём жил племянин того же Кучума, пленённый Ермаком. (13) В этом городе с необычайной историей тесно переплелись русская и татарская культуры.