Миша решил заниматься спортом и начал отжиматься каждое утро. В первое утро он сделал 10 10 отжиманий, а каждое следующее утро он делал на одно и то же количество отжиманий…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Понимание условия задачи:

   • Миша в первый день сделал 10 отжиманий.
   • Каждый последующий день он делает на одно и то же количество отжиманий больше, чем в предыдущий день.
   • За 12 дней он сделал всего 384 отжимания.

2. Обозначение переменных:

   • Обозначим количество отжиманий, которое Миша добавляет каждый день, как \( x \).
   • Таким образом, отжимания в дни можно записать как:
     • 1-й день: \( 10 \)
     • 2-й день: \( 10 + x \)
     • 3-й день: \( 10 + 2x \)
     • ...
     • 12-й день: \( 10 + 11x \)

3. Запись суммы отжиманий за 12 дней: Мы можем записать общее количество отжиманий, которое он сделал за 12 дней, в виде суммы: \[ S = 10 + (10 + x) + (10 + 2x) + (10 + 3x) + ... + (10 + 11x) \]

   Упростим эту сумму:

   • Сначала посчитаем количество отжиманий без добавок: \( 10 \times 12 = 120 \)
   • Теперь посчитаем добавки: \( x(0 + 1 + 2 + 3 + ... + 11) \)
   • Сумма первых \( n \) натуральных чисел равна \( \frac{n(n+1)}{2} \), где \( n = 11 \): \[ 0 + 1 + 2 + ... + 11 = \frac{11 \times 12}{2} = 66 \]
   • Следовательно, добавки составляют \( 66x \).

4. Составление уравнения: \[ S = 120 + 66x \] Мы знаем, что общее количество отжиманий за 12 дней равно 384, значит: \[ 120 + 66x = 384 \]

5. Решение уравнения: Выразим \( x \): \[ 66x = 384 - 120 \] \[ 66x = 264 \] \[ x = \frac{264}{66} = 4 \]

6. Подсчет отжиманий в седьмой день: Теперь мы можем найти количество отжиманий, которые Миша сделал в седьмой день: \[ \text{Отжимания в 7-й день} = 10 + 6x = 10 + 6 \cdot 4 = 10 + 24 = 34 \]

Ответ: В седьмой день Миша сделал 34 отжимания.