найти второй дифференциал функции f(x,y) если f=ylnx
Чтобы найти второй дифференциал функции \( f(x, y) = y \ln x \), нам сначала нужно вычислить первые и вторые частные производные.
Шаг 1: Вычислим первые частные производные.
- Первая частная производная по \( x \):
Для нахождения производной \( f \) по \( x \), будем воспринимать \( y \) как константу:
\[ f_x = \frac{\partial}{\partial x}(y \ln x) = y \cdot \frac{1}{x} = \frac{y}{x} \]
- Первая частная производная по \( y \):
Теперь находим производную \( f \) по \( y \):
\[ f_y = \frac{\partial}{\partial y}(y \ln x) = \ln x \]
Таким образом, первые частные производные:
- \( f_x = \frac{y}{x} \)
- \( f_y = \ln x \)
Шаг 2: Вычислим вторые частные производные.
- Вторая частная производная по \( x \):
Это производная от \( f_x \) по \( x \):
\[ f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right) = y \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^{-1}) = y \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{y}{x^2} \]
- Вторая частная производная по \( y \):
Это производная от \( f_y \) по \( y \):
\[ f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(\ln x) = 0 \]
- Смешанная производная (по \( x \) и \( y \)):
Теперь находим смешанную производную \( f_{xy} \):
\[ f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{x} \]
- Смешанная производная (по \( y \) и \( x \)):
Для симметрии также посчитаем \( f_{yx} \):
\[ f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(\ln x) = \frac{1}{x} \]
Итак, мы нашли вторые частные производные:
- \( f_{xx} = -\frac{y}{x^2} \)
- \( f_{yy} = 0 \)
- \( f_{xy} = \frac{1}{x} \)
- \( f_{yx} = \frac{1}{x} \)
Теперь, собрав все части, можно записать второй дифференциал (или полное дифференцирование функции):
\[ d^2f = f_{xx} \, dx^2 + 2f_{xy} \, dx \, dy + f_{yy} \, dy^2 \]
Заменим полученные производные в формуле:
\[ d^2f = -\frac{y}{x^2} \, dx^2 + 2 \cdot \frac{1}{x} \, dx \, dy + 0 \cdot dy^2 \]
Что упрощается и становится:
\[ d^2f = -\frac{y}{x^2} \, dx^2 + \frac{2}{x} \, dx \, dy \]
Эта формула показывает, как второй дифференциал функции \( f(x, y) = y \ln x \) зависит от изменений переменных \( x \) и \( y \).
