Найти второй дифференциал функции f(x,y) если f=ylnx

Чтобы найти второй дифференциал функции \( f(x, y) = y \ln x \), нам сначала нужно вычислить первые и вторые частные производные. **Шаг 1: Вычислим первые частные производные.** 1. **Первая частная производная по \( x \):** Для нахождения производной \( f \) по \( x \), будем воспринимать \( y \) как константу: \[ f_x = \frac{\partial}{\partial x}(y \ln x) = y \cdot \frac{1}{x} = \frac{y}{x} \] 2. **Первая частная производная по \( y \):** Теперь находим производную \( f \) по \( y \): \[ f_y = \frac{\partial}{\partial y}(y \ln x) = \ln x \] Таким образом, первые частные производные: - \( f_x = \frac{y}{x} \) - \( f_y = \ln x \) **Шаг 2: Вычислим вторые частные производные.** 1. **Вторая частная производная по \( x \):** Это производная от \( f_x \) по \( x \): \[ f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right) = y \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^{-1}) = y \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{y}{x^2} \] 2. **Вторая частная производная по \( y \):** Это производная от \( f_y \) по \( y \): \[ f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(\ln x) = 0 \] 3. **Смешанная производная (по \( x \) и \( y \)):** Теперь находим смешанную производную \( f_{xy} \): \[ f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{x} \] 4. **Смешанная производная (по \( y \) и \( x \)):** Для симметрии также посчитаем \( f_{yx} \): \[ f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(\ln x) = \frac{1}{x} \] **Итак, мы нашли вторые частные производные:** - \( f_{xx} = -\frac{y}{x^2} \) - \( f_{yy} = 0 \) - \( f_{xy} = \frac{1}{x} \) - \( f_{yx} = \frac{1}{x} \) Теперь, собрав все части, можно записать второй дифференциал (или полное дифференцирование функции): \[ d^2f = f_{xx} \, dx^2 + 2f_{xy} \, dx \, dy + f_{yy} \, dy^2 \] Заменим полученные производные в формуле: \[ d^2f = -\frac{y}{x^2} \, dx^2 + 2 \cdot \frac{1}{x} \, dx \, dy + 0 \cdot dy^2 \] Что упрощается и становится: \[ d^2f = -\frac{y}{x^2} \, dx^2 + \frac{2}{x} \, dx \, dy \] Эта формула показывает, как второй дифференциал функции \( f(x, y) = y \ln x \) зависит от изменений переменных \( x \) и \( y \).