в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С катет ВС равен 12 см, а коминус угла В равен 2/3. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника.
Чтобы найти гипотенузу прямоугольного треугольника \(ABC\), где угол \(C\) является прямым углом, мы будем использовать свойства тригонометрии.
Запишем известные данные:
- Катет \(BC = 12 \, \text{см}\).
- Косинус угла \(B\) равен \(\cos(B) = \frac{2}{3}\).
Используем определение косинуса:
Косинус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащего катета (в данном случае \(AC\)) к длине гипотенузы \(AB\): \[ \cos(B) = \frac{AC}{AB} \] Подставим известное значение косинуса: \[ \frac{2}{3} = \frac{AC}{AB} \]Обозначим гипотенузу:
Пусть длина гипотенузы \(AB = c\). Тогда: \[ AC = \frac{2}{3}c \]Применим теорему Пифагора:
В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим наши обозначения: \[ c^2 = \left(\frac{2}{3}c\right)^2 + 12^2 \]Решим это уравнение: \[ c^2 = \frac{4}{9}c^2 + 144 \] Переносим все члены на одну сторону уравнения: \[ c^2 - \frac{4}{9}c^2 = 144 \] Приведем подобные: \[ \left(1 - \frac{4}{9}\right)c^2 = 144 \] \[ \frac{5}{9}c^2 = 144 \] Умножим обе стороны на \(\frac{9}{5}\): \[ c^2 = 144 \cdot \frac{9}{5} \] \[ c^2 = \frac{1296}{5} \] \[ c = \sqrt{\frac{1296}{5}} = \frac{\sqrt{1296}}{\sqrt{5}} = \frac{36}{\sqrt{5}} = \frac{36\sqrt{5}}{5} \]
Получаем результат:
Длина гипотенузы \(AB\) будет равна: \[ AB \approx \frac{36 \cdot 2.236}{5} \approx \frac{80.832}{5} \approx 16.166 \, \text{см} \]
Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника \(ABC\) примерно равна \(16.17 \, \text{см}\).
