3) Сколько существует чисел, восьмеричная запись которых содержит 7 цифр, причём все цифры различны и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом.

Чтобы решить задачу, давайте сначала проанализируем условия.

Мы ищем 7-значные числа в восьмеричной системе счисления. В восьмеричной системе используются цифры от 0 до 7. Это значит, что у нас есть всего 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Из них четные: 0, 2, 4, 6, и нечетные: 1, 3, 5, 7.

Шаг 1: Анализ возможных цифр

Всего у нас 8 цифр, из которых:

• Четные: 0, 2, 4, 6 (всего 4 четные)
• Нечетные: 1, 3, 5, 7 (всего 4 нечетные)

Обратите внимание, что все цифры должны быть различными. Это означает, что цифры, которые мы будет использовать, должны быть взяты без повторений.

Шаг 2: Чернили четные и нечетные приближения

Поскольку рядом не могут стоять две четные или две нечётные цифры, нам нужно чередовать четные и нечётные. Можем рассмотреть два случая:

1. Чередование начинается с четной цифры:

   • Позиции: Четная, Нечетная, Четная, Нечетная, Четная, Нечетная, Четная (C, N, C, N, C, N, C)
   • Четные цифры: 4 (0, 2, 4, 6)
   • Нечетные цифры: 4 (1, 3, 5, 7)

2. Чередование начинается с нечетной цифры:

   • Позиции: Нечетная, Четная, Нечетная, Четная, Нечетная, Четная, Нечетная (N, C, N, C, N, C, N)

Шаг 3: Комбинирование цифр

Теперь давайте разберёмся, какое количество чисел возможно в каждом случае.

1. Случай 1 (Четная на первой позиции):
   • 1-ая позиция: Может занять любую из 4 четных цифр (0, 2, 4, 6)
   • 2-ая позиция: Может занять любую из 4 нечетных цифр (1, 3, 5, 7)
   • 3-я позиция: 3 оставшиеся четные цифры
   • 4-я позиция: 3 оставшиеся нечетные цифры
   • 5-я позиция: 2 оставшиеся четные цифры
   • 6-я позиция: 2 оставшиеся нечетные цифры
   • 7-я позиция: 1 оставшаяся четная цифра

Общее количество перестановок в этом случае: \[ 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4! \cdot 4! = 24 \cdot 24 = 576 \]

2. Случай 2 (Нечетная на первой позиции):
   • 1-ая позиция: Может занять любую из 4 нечетных цифр
   • 2-ая позиция: Может занять любую из 4 четных цифр
   • Постепенно заполняем остающиеся позиции аналогично.

Общее количество перестановок в этом случае: \[ 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4! \cdot 4! = 576 \]

Шаг 4: Суммирование случаев

Теперь, сложим количество чисел из первого и второго случаев: \[ 576 + 576 = 1152 \]

Ответ

Таким образом, существует 1152 различных 7-значных чисел в восьмеричной системе, которые соответствуют заданным условиям.