3) Сколько существует чисел, восьмеричная запись которых содержит 7 цифр, причём все цифры различны и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом.

Чтобы решить задачу, давайте сначала проанализируем условия. Мы ищем 7-значные числа в восьмеричной системе счисления. В восьмеричной системе используются цифры от 0 до 7. Это значит, что у нас есть всего 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Из них четные: 0, 2, 4, 6, и нечетные: 1, 3, 5, 7. ### Шаг 1: Анализ возможных цифр Всего у нас 8 цифр, из которых: - Четные: 0, 2, 4, 6 (всего 4 четные) - Нечетные: 1, 3, 5, 7 (всего 4 нечетные) Обратите внимание, что все цифры должны быть различными. Это означает, что цифры, которые мы будет использовать, должны быть взяты без повторений. ### Шаг 2: Чернили четные и нечетные приближения Поскольку рядом не могут стоять две четные или две нечётные цифры, нам нужно чередовать четные и нечётные. Можем рассмотреть два случая: 1. **Чередование начинается с четной цифры:** - Позиции: Четная, Нечетная, Четная, Нечетная, Четная, Нечетная, Четная (C, N, C, N, C, N, C) - Четные цифры: 4 (0, 2, 4, 6) - Нечетные цифры: 4 (1, 3, 5, 7) 2. **Чередование начинается с нечетной цифры:** - Позиции: Нечетная, Четная, Нечетная, Четная, Нечетная, Четная, Нечетная (N, C, N, C, N, C, N) ### Шаг 3: Комбинирование цифр Теперь давайте разберёмся, какое количество чисел возможно в каждом случае. 1. **Случай 1 (Четная на первой позиции):** - 1-ая позиция: Может занять любую из 4 четных цифр (0, 2, 4, 6) - 2-ая позиция: Может занять любую из 4 нечетных цифр (1, 3, 5, 7) - 3-я позиция: 3 оставшиеся четные цифры - 4-я позиция: 3 оставшиеся нечетные цифры - 5-я позиция: 2 оставшиеся четные цифры - 6-я позиция: 2 оставшиеся нечетные цифры - 7-я позиция: 1 оставшаяся четная цифра Общее количество перестановок в этом случае: \[ 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4! \cdot 4! = 24 \cdot 24 = 576 \] 2. **Случай 2 (Нечетная на первой позиции):** - 1-ая позиция: Может занять любую из 4 нечетных цифр - 2-ая позиция: Может занять любую из 4 четных цифр - Постепенно заполняем остающиеся позиции аналогично. Общее количество перестановок в этом случае: \[ 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4! \cdot 4! = 576 \] ### Шаг 4: Суммирование случаев Теперь, сложим количество чисел из первого и второго случаев: \[ 576 + 576 = 1152 \] ### Ответ Таким образом, существует **1152** различных 7-значных чисел в восьмеричной системе, которые соответствуют заданным условиям.