Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=1-x^2, прямыми а=-1, b=1
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) = 1 - x^2 \) и прямыми \( x = -1 \) и \( x = 1 \), давайте следовать пошагово.
Шаг 1: Определение функции и графика
Функция \( f(x) = 1 - x^2 \) — это парабола, открытая вниз, с вершиной в точке \( (0, 1) \). Наша задача заключается в нахождении площади фигуры, заключенной между графиком этой функции и осью \( x \) на интервале от \( x = -1 \) до \( x = 1 \).
Шаг 2: Находим точки пересечения графика с осью \( x \)
Чтобы найти, где график пересекает ось \( x \), приравняем функцию к нулю:
\[ 1 - x^2 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ x^2 = 1 \\ x = \pm 1 \]
Таким образом, у нас есть точки пересечения: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).
Шаг 3: Находим площадь между графиком и осью \( x \)
Площадь \( A \) под графиком функции \( f(x) \) от \( x = -1 \) до \( x = 1 \) можно вычислить, используя интеграл:
\[ A = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx \]
Шаг 4: Вычисляем интеграл
Теперь давайте вычислим интеграл:
\[ A = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx \]
Мы можем разделить этот интеграл на две части:
\[ A = \int_{-1}^{1} 1 \, dx - \int_{-1}^{1} x^2 \, dx \]
Вычисляем каждую часть отдельно:
- Первая часть:
\[ \int_{-1}^{1} 1 \, dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2 \]
- Вторая часть:
\[ \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]
Шаг 5: Суммируем результаты
Теперь подставим значения обратно в уравнение:
\[ A = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]
Ответ
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) = 1 - x^2 \) и прямыми \( x = -1 \) и \( x = 1 \), равна:
\[ \boxed{\frac{4}{3}} \]
Это и есть площадь искомой фигуры.
