Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=1-x^2, прямыми а=-1, b=1

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) = 1 - x^2 \) и прямыми \( x = -1 \) и \( x = 1 \), давайте следовать пошагово. ### Шаг 1: Определение функции и графика Функция \( f(x) = 1 - x^2 \) — это парабола, открытая вниз, с вершиной в точке \( (0, 1) \). Наша задача заключается в нахождении площади фигуры, заключенной между графиком этой функции и осью \( x \) на интервале от \( x = -1 \) до \( x = 1 \). ### Шаг 2: Находим точки пересечения графика с осью \( x \) Чтобы найти, где график пересекает ось \( x \), приравняем функцию к нулю: \[ 1 - x^2 = 0 \] Решим это уравнение: \[ x^2 = 1 \\ x = \pm 1 \] Таким образом, у нас есть точки пересечения: \( x = -1 \) и \( x = 1 \). ### Шаг 3: Находим площадь между графиком и осью \( x \) Площадь \( A \) под графиком функции \( f(x) \) от \( x = -1 \) до \( x = 1 \) можно вычислить, используя интеграл: \[ A = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx \] ### Шаг 4: Вычисляем интеграл Теперь давайте вычислим интеграл: \[ A = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx \] Мы можем разделить этот интеграл на две части: \[ A = \int_{-1}^{1} 1 \, dx - \int_{-1}^{1} x^2 \, dx \] Вычисляем каждую часть отдельно: 1. **Первая часть:** \[ \int_{-1}^{1} 1 \, dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2 \] 2. **Вторая часть:** \[ \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] ### Шаг 5: Суммируем результаты Теперь подставим значения обратно в уравнение: \[ A = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \] ### Ответ Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) = 1 - x^2 \) и прямыми \( x = -1 \) и \( x = 1 \), равна: \[ \boxed{\frac{4}{3}} \] Это и есть площадь искомой фигуры.