=x- 6sin 3 Проведите исследование функции и постройте ее график. y=7- 6x - x²; y = x3 - 3x - 2;

Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности и проведем их исследование. Начнем с первой функции:

1. Исследование функции: \(y = 7 - 6x - x^2\)

Шаг 1: Определение области определения

Функция является полиномиальной, и область определения — все действительные числа:
\(D(y) = (-\infty; +\infty)\)

Шаг 2: Нахождение критических точек

Для этого находим производную и приравниваем её к нулю.
\[y' = -6 - 2x\]
Приравняем к нулю:
\[-6 - 2x = 0\]
\[2x = -6\]
\[x = -3\]

Шаг 3: Определение типа критической точки

Теперь найдём вторую производную:
\[y'' = -2\]
Так как производная отрицательна, значит, у нас есть максимум в точке \(x = -3\).

Шаг 4: Нахождение функции в максимальной точке

Теперь подставим \(x = -3\) в исходное уравнение:
\[y = 7 - 6(-3) - (-3)^2\]
\[y = 7 + 18 - 9 = 16\]
Таким образом, точка максимума: \((-3, 16)\).

Шаг 5: Поведение функции на границах

• При \(x \to +\infty\), \(y \to -\infty\) (функция убывает).
• При \(x \to -\infty\), \(y \to -\infty\) (функция также убывает).

Шаг 6: Построение графика

Наносим точку максимума и строим параболу, с открытой вниз (так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный).

2. Исследование функции: \(y = x^3 - 3x - 2\)

Шаг 1: Определение области определения

Так же, как и в предыдущем случае, область определения — все действительные числа:
\(D(y) = (-\infty; +\infty)\)

Шаг 2: Нахождение критических точек

Находим производную:
\[y' = 3x^2 - 3\]
Приравняем к нулю:
\[3(x^2 - 1) = 0\]
\[x^2 - 1 = 0\]
\[x = \pm 1\]

Шаг 3: Определение типа критических точек

Найдем вторую производную:
\[y'' = 6x\]
Теперь определим знак второй производной:

• При \(x < 0\), \(y'' < 0\) — максимум в точке \(x = -1\).
• При \(x > 0\), \(y'' > 0\) — минимум в точке \(x = 1\).

Шаг 4: Нахождение функции в критических точках:

Подставим \(x = -1\) и \(x = 1\):

• Для \(x = -1\):
  \[y = (-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0\]
  (максимум: \((-1, 0)\))

• Для \(x = 1\):
  \[y = 1^3 - 3(1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4\]
  (минимум: \((1, -4)\))

Шаг 5: Поведение функции на границах

• При \(x \to +\infty\), \(y \to +\infty\).
• При \(x \to -\infty\), \(y \to -\infty\).

Шаг 6: Построение графика

Наносим точки критические, строим график, который проходит через эти точки, сначала возрастая, достигает максимума, затем убывает до минимума и растет дальше.

Итог

Теперь вы можете построить графики обеих функций, используя рассчитанные вами критические точки и поведение на границах. Не забудьте обозначить оси и отметьте найденные максимумы и минимумы на графиках.