=x- 6sin 3 Проведите исследование функции и постройте ее график. y=7- 6x - x²; y = x3 - 3x - 2;

Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности и проведем их исследование. Начнем с первой функции: ### 1. Исследование функции: \(y = 7 - 6x - x^2\) #### Шаг 1: Определение области определения Функция является полиномиальной, и область определения — все действительные числа: \(D(y) = (-\infty; +\infty)\) #### Шаг 2: Нахождение критических точек Для этого находим производную и приравниваем её к нулю. \[y' = -6 - 2x\] Приравняем к нулю: \[-6 - 2x = 0\] \[2x = -6\] \[x = -3\] #### Шаг 3: Определение типа критической точки Теперь найдём вторую производную: \[y'' = -2\] Так как производная отрицательна, значит, у нас есть максимум в точке \(x = -3\). #### Шаг 4: Нахождение функции в максимальной точке Теперь подставим \(x = -3\) в исходное уравнение: \[y = 7 - 6(-3) - (-3)^2\] \[y = 7 + 18 - 9 = 16\] Таким образом, точка максимума: \((-3, 16)\). #### Шаг 5: Поведение функции на границах - При \(x \to +\infty\), \(y \to -\infty\) (функция убывает). - При \(x \to -\infty\), \(y \to -\infty\) (функция также убывает). #### Шаг 6: Построение графика Наносим точку максимума и строим параболу, с открытой вниз (так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный). --- ### 2. Исследование функции: \(y = x^3 - 3x - 2\) #### Шаг 1: Определение области определения Так же, как и в предыдущем случае, область определения — все действительные числа: \(D(y) = (-\infty; +\infty)\) #### Шаг 2: Нахождение критических точек Находим производную: \[y' = 3x^2 - 3\] Приравняем к нулю: \[3(x^2 - 1) = 0\] \[x^2 - 1 = 0\] \[x = \pm 1\] #### Шаг 3: Определение типа критических точек Найдем вторую производную: \[y'' = 6x\] Теперь определим знак второй производной: - При \(x < 0\), \(y'' < 0\) — максимум в точке \(x = -1\). - При \(x > 0\), \(y'' > 0\) — минимум в точке \(x = 1\). #### Шаг 4: Нахождение функции в критических точках: Подставим \(x = -1\) и \(x = 1\): - Для \(x = -1\): \[y = (-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0\] (максимум: \((-1, 0)\)) - Для \(x = 1\): \[y = 1^3 - 3(1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4\] (минимум: \((1, -4)\)) #### Шаг 5: Поведение функции на границах - При \(x \to +\infty\), \(y \to +\infty\). - При \(x \to -\infty\), \(y \to -\infty\). #### Шаг 6: Построение графика Наносим точки критические, строим график, который проходит через эти точки, сначала возрастая, достигает максимума, затем убывает до минимума и растет дальше. --- ### Итог Теперь вы можете построить графики обеих функций, используя рассчитанные вами критические точки и поведение на границах. Не забудьте обозначить оси и отметьте найденные максимумы и минимумы на графиках.