Теорема Виета

Теорема Виета — это важный инструмент в алгебре, который связывает коэффициенты многочлена с его корнями. Давайте разберем ее подробнее. ### Что такое теорема Виета? Теорема Виета описывает отношения между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Если у нас есть квадратное уравнение вида: \[ ax^2 + bx + c = 0, \] где \( a \), \( b \) и \( c \) — это коэффициенты, а \( x_1 \) и \( x_2 \) — его корни (решения), то утверждения теоремы Виета можно записать как: 1. **Сумма корней**: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. **Произведение корней**: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) ### Пошаговое объяснение 1. **Сумма корней**: Если мы рассматриваем одно уравнение, то, применяя формулу корней, мы можем заметить, что сумму корней можно выразить через коэффициенты уравнения. В частности, если вы решаете уравнение, например, \( 2x^2 + 3x - 5 = 0 \): - Здесь \( a = 2 \), \( b = 3 \), и \( c = -5 \). - По теореме Виета сумма корней будет равна \( -\frac{3}{2} \). 2. **Произведение корней**: Аналогично, произведение корней тоже связывается с коэффициентами. Из того же уравнения: - Произведение корней будет равно \( \frac{-5}{2} \). ### Применение теоремы Виета Использовать теорему Виета удобно для: - Проверки правильности найденных корней. - Нахождения корней многочлена, если известны его коэффициенты. - Упрощения вычислений в алгебраических задачах. ### Пример Решим уравнение \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). 1. Найдем корни: - Сначала находим дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \). - Затем находим корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \) \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2} = 2 \). 2. Проверим через теорему Виета: - Сумма: \( x_1 + x_2 = 3 + 2 = 5 \), что равно \( -\frac{-5}{1} = 5 \). - Произведение: \( x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 2 = 6 \), что равно \( \frac{6}{1} = 6 \). Таким образом, как сумма, так и произведение корней проходят проверку, что подтверждает правильность решения. ### Заключение Теорема Виета помогает установить ценные связи между корнями уравнения и его коэффициентами. Это очень полезно для глубже понимания свойств квадратных (и других) многочленов.