Чтобы решить задачу о соотношении объёмов двух шаров на основе соотношения их площадей поверхностей, давайте разберем все шаги по порядку.
1. Понимание площади поверхности шара
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:
[ S = 4\pi r^2, ]
где ( S ) — площадь поверхности, ( r ) — радиус шара.
2. Соотношение площадей
Мы знаем, что площади двух шаров относятся как ( 9 : 25 ). Это можно записать как:
[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{25}. ]
Предположим, что:
- ( S_1 = 4\pi r_1^2 )
- ( S_2 = 4\pi r_2^2 )
Подставляя эти значения в соотношение площадей, получим:
[ \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{9}{25}. ]
Сокращаем ( 4\pi ) в числителе и знаменателе:
[ \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{25}. ]
3. Вывод отношения радиусов
Теперь можно найти отношение радиусов:
[ \frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}. ]
4. Понимание объёма шара
Объём шара вычисляется по формуле:
[ V = \frac{4}{3}\pi r^3. ]
5. Соотношение объёмов
Теперь найдем соотношение объёмов двух шаров:
[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3}. ]
Используя найденное ранее соотношение радиусов, подставим:
[ \frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125}. ]
6. Ответ
Таким образом, отношение объёмов двух шаров составляет:
[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{125}. ]
Это решение указывает, что объёмы двух шаров относятся как 27 : 125.
