Площади поверхностей двух шаров относятся как 9 : 25. Найдите отношение их объёмов.

Чтобы решить задачу о соотношении объёмов двух шаров на основе соотношения их площадей поверхностей, давайте разберем все шаги по порядку.

1. Понимание площади поверхности шара

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: \[ S = 4\pi r^2, \] где \( S \) — площадь поверхности, \( r \) — радиус шара.

2. Соотношение площадей

Мы знаем, что площади двух шаров относятся как \( 9 : 25 \). Это можно записать как: \[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{25}. \]

Предположим, что:

• \( S_1 = 4\pi r_1^2 \)
• \( S_2 = 4\pi r_2^2 \)

Подставляя эти значения в соотношение площадей, получим: \[ \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{9}{25}. \]

Сокращаем \( 4\pi \) в числителе и знаменателе: \[ \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{25}. \]

3. Вывод отношения радиусов

Теперь можно найти отношение радиусов: \[ \frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}. \]

4. Понимание объёма шара

Объём шара вычисляется по формуле: \[ V = \frac{4}{3}\pi r^3. \]

5. Соотношение объёмов

Теперь найдем соотношение объёмов двух шаров: \[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3}. \]

Используя найденное ранее соотношение радиусов, подставим: \[ \frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125}. \]

6. Ответ

Таким образом, отношение объёмов двух шаров составляет: \[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{125}. \]

Это решение указывает, что объёмы двух шаров относятся как 27 : 125.