Найти график функций и их пересечения y=x²-4 y=-2x-1

Давайте решим задачу по нахождению графиков функций и их пересечений. Мы рассмотрим две функции: 1. \( y = x^2 - 4 \) (парабола) 2. \( y = -2x - 1 \) (прямая) ### Шаг 1: Нахождение графиков функций #### 1. График параболы \( y = x^2 - 4 \) - Это уравнение представляет собой параболу, открывающуюся вверх, с вершиной в точке \( (0, -4) \). - Чтобы начертить график, найдем несколько значений функции: | \( x \) | \( y = x^2 - 4 \) | |---------|--------------------| | -3 | \( (-3)^2 - 4 = 5 \) | | -2 | \( (-2)^2 - 4 = 0 \) | | -1 | \( (-1)^2 - 4 = -3 \) | | 0 | \( 0^2 - 4 = -4 \) | | 1 | \( 1^2 - 4 = -3 \) | | 2 | \( 2^2 - 4 = 0 \) | | 3 | \( 3^2 - 4 = 5 \) | - На основе этих точек можно построить график параболы. #### 2. График прямой \( y = -2x - 1 \) - Это уравнение представляет собой прямую с угловым коэффициентом -2 и пересечением с осью y в точке (0, -1). - Также найдем несколько значений для построения прямой: | \( x \) | \( y = -2x - 1 \) | |---------|---------------------| | -3 | \( -2(-3) - 1 = 5 \) | | -2 | \( -2(-2) - 1 = 3 \) | | -1 | \( -2(-1) - 1 = 1 \) | | 0 | \( -2(0) - 1 = -1 \) | | 1 | \( -2(1) - 1 = -3 \) | | 2 | \( -2(2) - 1 = -5 \) | | 3 | \( -2(3) - 1 = -7 \) | - Теперь мы можем построить график прямой. ### Шаг 2: Нахождение пересечения графиков Чтобы найти точки пересечения графиков, нам нужно решить систему уравнений: \[ x^2 - 4 = -2x - 1 \] ### Шаг 3: Решение уравнения Перепишем уравнение: \[ x^2 + 2x - 4 - 1 = 0 \implies x^2 + 2x - 5 = 0 \] Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -5 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} \] \[ = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6} \] Таким образом, мы получаем два значения для \( x \): \[ x_1 = -1 + \sqrt{6}, \quad x_2 = -1 - \sqrt{6} \] ### Шаг 4: Нахождение соответствующих \( y \) Теперь подставим найденные значения \( x \) в одно из уравнений, чтобы найти значения \( y \). Удобнее всего подставить в уравнение для прямой: 1. Для \( x_1 = -1 + \sqrt{6} \): \[ y_1 = -2(-1 + \sqrt{6}) - 1 = 2 - 2\sqrt{6} - 1 = 1 - 2\sqrt{6} \] 2. Для \( x_2 = -1 - \sqrt{6} \): \[ y_2 = -2(-1 - \sqrt{6}) - 1 = 2 + 2\sqrt{6} - 1 = 1 + 2\sqrt{6} \] ### Итог Мы нашли точки пересечения: \[ (-1 + \sqrt{6}, 1 - 2\sqrt{6}) \quad \text{и} \quad (-1 - \sqrt{6}, 1 + 2\sqrt{6}) \] Теперь вы можете построить график параболы и прямой, чтобы визуально увидеть, где они пересекаются. Это даст вам хорошее представление о поведении функций!