Отобрать корни на отрезке [5π2; 4π] из серий решений x=±π6+2πk, k∈Z .

Решим задачу по нахождению корней из заданного множества решений \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \), на интервале \( [5\pi/2; 4\pi] \).

Шаг 1: Найдем общее выражение для корней

У нас есть два выражения для решения:

1. \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
2. \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \)

Будем подставлять разные значения \( k \) для нахождения корней.

Шаг 2: Подбор значений \( k \)

Для \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \): Мы хотим, чтобы: \[ 5\pi/2 \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq 4\pi \]

Найдем границы для \( k \):

1. Левая часть неравенства: \[ \frac{\pi}{6} + 2\pi k \geq 5\pi/2 \] Упрощаем: \[ 2\pi k \geq 5\pi/2 - \pi/6 \] Переведем все к общему знаменателю: \[ 5\pi/2 = \frac{15\pi}{6}, \quad \text{так что} \quad 5\pi/2 - \pi/6 = \frac{15\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{14\pi}{6} = \frac{7\pi}{3} \] Тогда имеем: \[ 2\pi k \geq \frac{7\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad k \geq \frac{7}{6} \] Таким образом, \( k \) должен быть не менее 2, так как \( k \) — целое число, то \( k \geq 2 \).

2. Правая часть неравенства: \[ \frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq 4\pi \] Упрощаем: \[ 2\pi k \leq 4\pi - \frac{\pi}{6} \] Переведем всё к общему знаменателю: \[ 4\pi = \frac{24\pi}{6}, \quad \text{так что} \quad 4\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{24\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{23\pi}{6} \] Тогда имеем: \[ 2\pi k \leq \frac{23\pi}{6} \quad \Rightarrow \quad k \leq \frac{23}{12} \approx 1.9167 \] Следовательно, максимальное целое значение \( k \) в этом случае — 1.

Таким образом, \( k \) может принимать значения 2 и 1.

Для \( k = 2 \): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 2 = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{25\pi}{6} \quad \text{(Не подходит, так как } \frac{25\pi}{6} > 4\pi \text{)} \]

Для \( k = 1 \): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \quad \text{(Подходит)} \]

Теперь рассмотрим второе выражение:

Для \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \).

1. Левая часть: \[ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \geq \frac{5\pi}{2} \] Переводим все в общий знаменатель: \[ 2\pi k \geq \frac{5\pi}{2} + \frac{\pi}{6} \] Находим общий знаменатель: \[ \frac{5\pi}{2} = \frac{15\pi}{6} \quad \text{так что}\quad \frac{15\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{16\pi}{6} = \frac{8\pi}{3} \] Так что: \[ 2\pi k \geq \frac{8\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad k \geq \frac{8}{6} \quad \Rightarrow \quad k \geq \frac{4}{3} \quad \Rightarrow k \geq 2 \]

2. Правая часть: \[ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq 4\pi \] здесь, выполняем: \[ 2\pi k \leq 4\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{24\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{25\pi}{6} \quad \Rightarrow \quad k \leq \frac{25}{12} \approx 2.0833 \]

Значения \( k \) могут быть 2.

Для \( k = 2 \): \[ x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = -\frac{\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{23\pi}{6} \quad \text{(Подходит)} \]

Шаг 3: Итоговые решения

Корни на отрезке \( [\frac{5\pi}{2}, 4\pi] \) являются:

1. \( x = \frac{13\pi}{6} \)
2. \( x = \frac{23\pi}{6} \)

Итак, корни на отрезке \( [5\pi/2; 4\pi] \):

• \( x = \frac{13\pi}{6} \)
• \( x = \frac{23\pi}{6} \)

Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!