Пример 6. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h(t) = - 5t ^ 2 + 39t где h — высота в метрах, t - время в…

Для решения данной задачи нам нужно определить, сколько времени камень находился на высоте не менее 28 метров. Формула, описывающая высоту камня, это:

\[ h(t) = -5t^2 + 39t \]

Шаг 1: Найти моменты времени, когда высота равна 28 метров

Начнем с того, чтобы приравнять формулу высоты к 28 метрам:

\[ -5t^2 + 39t = 28 \]

Переносим 28 в левую часть уравнения:

\[ -5t^2 + 39t - 28 = 0 \]

Шаг 2: Применить общую формулу для решения квадратного уравнения

Теперь мы имеем квадратное уравнение вида \( at^2 + bt + c = 0 \), где:

• \( a = -5 \)
• \( b = 39 \)
• \( c = -28 \)

Для нахождения корней этого уравнения используем дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac \]

Подставляем значения \( a \), \( b \) и \( c \):

\[ D = 39^2 - 4 \times (-5) \times (-28) \] \[ D = 1521 - 560 \] \[ D = 961 \]

Шаг 3: Найти корни уравнения

Дискриминант положителен, значит, у уравнения два различных корня. Находим корни с помощью формулы:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем значения:

\[ t = \frac{-39 \pm \sqrt{961}}{2 \times -5} \] \[ t = \frac{-39 \pm 31}{-10} \]

Находим первый корень:

\[ t_1 = \frac{-39 + 31}{-10} = \frac{-8}{-10} = 0.8 \, \text{с} \]

Находим второй корень:

\[ t_2 = \frac{-39 - 31}{-10} = \frac{-70}{-10} = 7 \, \text{с} \]

Шаг 4: Интервал времени

Теперь мы знаем, что камень находится на высоте 28 метров в интервале времени от \( t_1 = 0.8 \, \text{с} \) до \( t_2 = 7 \, \text{с} \).

Шаг 5: Найти длительность этого интервала

Чтобы найти, сколько времени камень находился на высоте не менее 28 метров, вычтем меньшее время из большего:

\[ \Delta t = t_2 - t_1 = 7 \, \text{с} - 0.8 \, \text{с} = 6.2 \, \text{с} \]

Ответ

Камень находился на высоте не менее 28 метров в течение 6.2 секунд.