Для решения данной задачи нам нужно определить, сколько времени камень находился на высоте не менее 28 метров. Формула, описывающая высоту камня, это:
[ h(t) = -5t^2 + 39t ]
Шаг 1: Найти моменты времени, когда высота равна 28 метров
Начнем с того, чтобы приравнять формулу высоты к 28 метрам:
[ -5t^2 + 39t = 28 ]
Переносим 28 в левую часть уравнения:
[ -5t^2 + 39t - 28 = 0 ]
Шаг 2: Применить общую формулу для решения квадратного уравнения
Теперь мы имеем квадратное уравнение вида ( at^2 + bt + c = 0 ), где:
- ( a = -5 )
- ( b = 39 )
- ( c = -28 )
Для нахождения корней этого уравнения используем дискриминант ( D ):
[ D = b^2 - 4ac ]
Подставляем значения ( a ), ( b ) и ( c ):
[ D = 39^2 - 4 \times (-5) \times (-28) ]
[ D = 1521 - 560 ]
[ D = 961 ]
Шаг 3: Найти корни уравнения
Дискриминант положителен, значит, у уравнения два различных корня. Находим корни с помощью формулы:
[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]
Подставляем значения:
[ t = \frac{-39 \pm \sqrt{961}}{2 \times -5} ]
[ t = \frac{-39 \pm 31}{-10} ]
Находим первый корень:
[ t_1 = \frac{-39 + 31}{-10} = \frac{-8}{-10} = 0.8 , \text{с} ]
Находим второй корень:
[ t_2 = \frac{-39 - 31}{-10} = \frac{-70}{-10} = 7 , \text{с} ]
Шаг 4: Интервал времени
Теперь мы знаем, что камень находится на высоте 28 метров в интервале времени от ( t_1 = 0.8 , \text{с} ) до ( t_2 = 7 , \text{с} ).
Шаг 5: Найти длительность этого интервала
Чтобы найти, сколько времени камень находился на высоте не менее 28 метров, вычтем меньшее время из большего:
[ \Delta t = t_2 - t_1 = 7 , \text{с} - 0.8 , \text{с} = 6.2 , \text{с} ]
Ответ
Камень находился на высоте не менее 28 метров в течение 6.2 секунд.
