Чтобы решить задачу, давайте разберёмся с двумя частями: вычислением длины дуги окружности и площадью кругового сектора.
1. Вычисление длины дуги окружности
Формула для длины дуги окружности (L) с радиусом (R) и углом в градусах (\theta) выглядит так:
[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi R
]
Где:
- (L) — длина дуги,
- (\theta) — угол в градусах,
- (R) — радиус окружности,
- (\pi \approx 3.14).
Дано:
- Радиус (R = 8 , \text{см})
- Угол (\theta = 90^\circ)
Подставим значения в формулу:
[
L = \frac{90}{360} \cdot 2\pi \cdot 8
]
Сначала упростим дробь:
[
\frac{90}{360} = \frac{1}{4}
]
Теперь подставим это в формулу:
[
L = \frac{1}{4} \cdot 2\pi \cdot 8
]
Посчитаем:
[
L = \frac{1}{4} \cdot 16\pi
]
[
L = 4\pi
]
Приблизительно, если взять (\pi \approx 3.14):
[
L \approx 4 \cdot 3.14 = 12.56 , \text{см}
]
2. Вычисление площади кругового сектора
Формула для площади (S) кругового сектора с радиусом (R) и углом в градусах (\theta):
[
S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi R^2
]
Подставим значения:
[
S = \frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 8^2
]
Упростим дробь:
[
\frac{90}{360} = \frac{1}{4}
]
Теперь подставим в формулу:
[
S = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 64
]
[
S = \frac{64\pi}{4} = 16\pi
]
Приблизительно, если взять (\pi \approx 3.14):
[
S \approx 16 \cdot 3.14 = 50.24 , \text{см}^2
]
Ответы:
- Длина дуги окружности: (L \approx 12.56 , \text{см})
- Площадь кругового сектора: (S \approx 50.24 , \text{см}^2)
