2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 8 см, если ее градусная мера равна 90°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?
Чтобы решить задачу, давайте разберёмся с двумя частями: вычислением длины дуги окружности и площадью кругового сектора.
1. Вычисление длины дуги окружности
Формула для длины дуги окружности \(L\) с радиусом \(R\) и углом в градусах \(\theta\) выглядит так:
\[ L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi R \]
Где:
- \(L\) — длина дуги,
- \(\theta\) — угол в градусах,
- \(R\) — радиус окружности,
- \(\pi \approx 3.14\).
Дано:
- Радиус \(R = 8 \, \text{см}\)
- Угол \(\theta = 90^\circ\)
Подставим значения в формулу:
\[ L = \frac{90}{360} \cdot 2\pi \cdot 8 \]
Сначала упростим дробь:
\[ \frac{90}{360} = \frac{1}{4} \]
Теперь подставим это в формулу:
\[ L = \frac{1}{4} \cdot 2\pi \cdot 8 \]
Посчитаем:
\[ L = \frac{1}{4} \cdot 16\pi \]
\[ L = 4\pi \]
Приблизительно, если взять \(\pi \approx 3.14\):
\[ L \approx 4 \cdot 3.14 = 12.56 \, \text{см} \]
2. Вычисление площади кругового сектора
Формула для площади \(S\) кругового сектора с радиусом \(R\) и углом в градусах \(\theta\):
\[ S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi R^2 \]
Подставим значения:
\[ S = \frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 8^2 \]
Упростим дробь:
\[ \frac{90}{360} = \frac{1}{4} \]
Теперь подставим в формулу:
\[ S = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 64 \]
\[ S = \frac{64\pi}{4} = 16\pi \]
Приблизительно, если взять \(\pi \approx 3.14\):
\[ S \approx 16 \cdot 3.14 = 50.24 \, \text{см}^2 \]
Ответы:
- Длина дуги окружности: \(L \approx 12.56 \, \text{см}\)
- Площадь кругового сектора: \(S \approx 50.24 \, \text{см}^2\)
