1) В саду деревьев больше, чем 90, но меньше, чем 100. Треть всех деревьев – яблони, а четверть всех деревьев- сливы. Сколько деревьев в саду? 2) Какое из выражений принимает…

Давайте решим обе задачи по порядку.

Задача 1:

Условие: В саду деревьев больше, чем 90, но меньше, чем 100. Треть всех деревьев – яблони, а четверть всех деревьев – сливы. Сколько деревьев в саду?

Решение:

1. Обозначим количество деревьев в саду как \( N \). Согласно условию задачи: \[ 90 < N < 100 \]

2. По условию, треть деревьев — это яблони: \[ \text{Яблони} = \frac{1}{3} N \]

3. Четверть деревьев — это сливы: \[ \text{Сливы} = \frac{1}{4} N \]

4. Теперь, чтобы \( N \) было целым числом, \( N \) должно делиться на 3 и 4. Наименьшим общим кратным для 3 и 4 является 12. Следовательно, \( N \) должно быть кратно 12.

5. В диапазоне от 90 до 100 мы ищем кратные 12:

   • 12 × 8 = 96
   • 12 × 9 = 108 (выходит за пределы диапазона)

   Таким образом, единственное подходящее значение для \( N \) — это 96.

6. Проверяем это значение: \[ \text{Яблони} = \frac{1}{3} \cdot 96 = 32 \] \[ \text{Сливы} = \frac{1}{4} \cdot 96 = 24 \]

7. Общее количество деревьев: \[ 32 + 24 = 56 \quad (\text{или 96 - (32 + 24) = 40}) \]

   Таким образом, количество деревьев в саду равно 96.

Ответ: 96 деревьев.

Задача 2:

Условие: Какое из выражений принимает только отрицательные значения при любом значении \( x \):

1. \( -x^2 - 4x + 6 \)
2. \( -x^2 + 16x - 64 \)
3. \( -x^2 + 8x - 18 \)

Решение:

Чтобы определить, какое из этих выражений всегда отрицательное, рассмотрим каждое из них.

1. Для первого выражения \( -x^2 - 4x + 6 \):

   • Находим дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(-1)(6) = 16 + 24 = 40 \]
   • Так как дискриминант положителен, выражение имеет два различных корня, и при некоторых значениях \( x \) оно может быть положительным.

2. Для второго выражения \( -x^2 + 16x - 64 \):

   • Находим дискриминант: \[ D = 16^2 - 4(-1)(-64) = 256 - 256 = 0 \]
   • Дискриминант равен нулю, и это выражение имеет один корень, \( x = 8 \). При значениях \( x > 8 \) оно будет отрицательным.

3. Для третьего выражения \( -x^2 + 8x - 18 \):

   • Находим дискриминант: \[ D = 8^2 - 4(-1)(-18) = 64 - 72 = -8 \]
   • Дискриминант отрицателен, значит, это выражение не имеет действительных корней и всегда сохраняет один и тот же знак. Так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный, выражение всегда отрицательно.

Ответ: 3. \( -x^2 + 8x - 18 \) всегда принимает только отрицательные значения.