решить уравнение cos2x+√2sin(π+x)+1=0
Для решения уравнения \( \cos(2x) + \sqrt{2} \sin(\pi + x) + 1 = 0 \) следуем следующим шагам:
Шаг 1: Упростим выражение \( \sin(\pi + x) \)
По тригонометрическим тождествам мы знаем, что: \[ \sin(\pi + x) = -\sin(x) \]
Таким образом, можем переписать уравнение: \[ \cos(2x) + \sqrt{2} (-\sin(x)) + 1 = 0 \] или \[ \cos(2x) - \sqrt{2} \sin(x) + 1 = 0 \]
Шаг 2: Используем формулу для \( \cos(2x) \)
Формула двойного угла для косинуса гласит: \[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 \] Подставим это в уравнение: \[ 2\cos^2(x) - 1 - \sqrt{2} \sin(x) + 1 = 0 \] Упрощаем: \[ 2\cos^2(x) - \sqrt{2} \sin(x) = 0 \]
Шаг 3: Выразим \( \cos^2(x) \) через \( \sin(x) \)
Мы знаем, что \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \). Подставим это в уравнение: \[ 2(1 - \sin^2(x)) - \sqrt{2} \sin(x) = 0 \] Раскроем скобки: \[ 2 - 2\sin^2(x) - \sqrt{2} \sin(x) = 0 \]
Шаг 4: Приведем уравнение к стандартному виду
Перепишем уравнение: \[ -2\sin^2(x) - \sqrt{2}\sin(x) + 2 = 0 \]
Умножим на -1 для удобства: \[ 2\sin^2(x) + \sqrt{2}\sin(x) - 2 = 0 \]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение
Обозначим \( y = \sin(x) \). Уравнение примет вид: \[ 2y^2 + \sqrt{2}y - 2 = 0 \]
Теперь применим формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 2 + 16 = 18 \]
Шаг 6: Находим корни
Корни квадратного уравнения находятся по формуле: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения: \[ y = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{18}}{2 \cdot 2} = \frac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} \quad \text{или} \quad \frac{-4\sqrt{2}}{4} \] то есть \[ y = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{или} \quad y = -\sqrt{2} \]
Шаг 7: Анализ корней
- \( y = \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Это дает: \[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
- \( y = \sin(x) = -\sqrt{2} \)
Этот корень не имеет решения, так как значение синуса всегда находится в пределах [-1, 1].
Шаг 8: Итоговые корни уравнения
Таким образом, окончательно решения уравнения:
\[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Это все значения \( x \), которые удовлетворяют исходному уравнению.
