Давайте решим уравнение шаг за шагом:
[
(2x - 3)^2 + 7x(3x - 1) = (5x + 2)^2
]
Шаг 1: Раскроем скобки
Начнем с раскрытия скобок в левой и правой части уравнения.
Левая часть:
Раскроем ((2x - 3)^2):
[
(2x - 3)(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 9
]
Раскроем (7x(3x - 1)):
[
7x \cdot 3x - 7x \cdot 1 = 21x^2 - 7x
]
Итак, левая часть уравнения будет:
[
4x^2 - 12x + 9 + 21x^2 - 7x
]
Соберем подобные члены:
[
(4x^2 + 21x^2) + (-12x - 7x) + 9 = 25x^2 - 19x + 9
]
Правая часть:
Теперь раскроем ((5x + 2)^2):
[
(5x + 2)(5x + 2) = 25x^2 + 20x + 4
]
Теперь уравнение принимает вид:
[
25x^2 - 19x + 9 = 25x^2 + 20x + 4
]
Шаг 2: Переносим все в одну сторону
Переносим правую часть уравнения в левую:
[
25x^2 - 19x + 9 - 25x^2 - 20x - 4 = 0
]
После сокращений у нас остается:
[
-39x + 5 = 0
]
Шаг 3: Решаем полученное уравнение
Теперь решим простое линейное уравнение:
[
-39x + 5 = 0
]
Переносим 5 на другую сторону:
[
-39x = -5
]
Теперь делим обе стороны на (-39):
[
x = \frac{5}{39}
]
Ответ
Таким образом, корень уравнения ((2x-3)^2 + 7x(3x-1) = (5x+2)^2) равен:
[
\boxed{\frac{5}{39}}
]
