решить уравнение: (2x-3)² + 7x(3x-1) = (5x+2)²
Давайте решим уравнение шаг за шагом:
\[ (2x - 3)^2 + 7x(3x - 1) = (5x + 2)^2 \]
Шаг 1: Раскроем скобки
Начнем с раскрытия скобок в левой и правой части уравнения.
Левая часть:
Раскроем \((2x - 3)^2\): \[ (2x - 3)(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 9 \]
Раскроем \(7x(3x - 1)\): \[ 7x \cdot 3x - 7x \cdot 1 = 21x^2 - 7x \]
Итак, левая часть уравнения будет: \[ 4x^2 - 12x + 9 + 21x^2 - 7x \] Соберем подобные члены: \[ (4x^2 + 21x^2) + (-12x - 7x) + 9 = 25x^2 - 19x + 9 \]
Правая часть:
Теперь раскроем \((5x + 2)^2\): \[ (5x + 2)(5x + 2) = 25x^2 + 20x + 4 \]
Теперь уравнение принимает вид: \[ 25x^2 - 19x + 9 = 25x^2 + 20x + 4 \]
Шаг 2: Переносим все в одну сторону
Переносим правую часть уравнения в левую: \[ 25x^2 - 19x + 9 - 25x^2 - 20x - 4 = 0 \]
После сокращений у нас остается: \[ -39x + 5 = 0 \]
Шаг 3: Решаем полученное уравнение
Теперь решим простое линейное уравнение: \[ -39x + 5 = 0 \] Переносим 5 на другую сторону: \[ -39x = -5 \]
Теперь делим обе стороны на \(-39\): \[ x = \frac{5}{39} \]
Ответ
Таким образом, корень уравнения \((2x-3)^2 + 7x(3x-1) = (5x+2)^2\) равен: \[ \boxed{\frac{5}{39}} \]
