решить

Давайте разберем каждую задачу из представленных.

Задача 9

Найти значение выражения \(4 - 5\sin^2 x - \cos^2 x\), если \(\sin^2 x = 0.8\).

Запишем формулу основного тригонометрического тождества:

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]

Подставим \(\sin^2 x = 0.8\):

\[ 0.8 + \cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = 0.2 \]

Теперь подставим значения в выражение:

\[ 4 - 5\sin^2 x - \cos^2 x = 4 - 5 \cdot 0.8 - 0.2 \]

Посчитаем:

\[ = 4 - 4 - 0.2 = -0.2 \]

Ответ: \(-0.2\).

Задача 10

Найти значение выражения \(\frac{2\sin \alpha + 5\cos \alpha}{3\cos \alpha - \sin \alpha}\), если \(\tan \alpha = 2\).

Из условия \(\tan \alpha = 2\), можно выразить \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\):

Пусть \(\sin \alpha = 2x\) и \(\cos \alpha = x\). Тогда \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{2x}{x} = 2\), что соответствует условию.

Для единичной окружности:

\[ (\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1 \]

\[ (2x)^2 + x^2 = 1 \]

\[ 4x^2 + x^2 = 1 \implies 5x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{5} \]

\(x = \frac{1}{\sqrt{5}}\), \(\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\), \(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\).

Теперь подставим в выражение:

\[ \frac{2\sin \alpha + 5\cos \alpha}{3\cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{2\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) + 5\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}{3\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)} \]

Упростим:

\[ = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{5}{\sqrt{5}}}{\frac{3}{\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{\frac{9}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = 9 \]

Ответ: \(9\).

Задача 11

Упростить выражение \(\sin 11\pi/3 + \cos 690^\circ - 19\pi/3\).

Начнем с упрощения каждого тригонометрического выражения:

1. \(\sin 11\pi/3\):

Приведем угол к основному кругу. \(11\pi/3\) эквивалентен \(2\pi + 5\pi/3\), что на круге соответствует углу \(5\pi/3\).

\[ \sin 5\pi/3 = \sin(-\pi/3) = -\sin(\pi/3) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

2. \(\cos 690^\circ\):

\(690^\circ = 360^\circ \cdot 1 + 330^\circ\), то есть соответствует \(330^\circ\).

\[ \cos 330^\circ = \cos (360^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь соберем все вместе:

Рассмотрим выражение:

\[ -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 19\pi/3 = 0 - 19\pi/3 \]

Ответ: \(-19\pi/3\).