Определи свойства параболы y = − 5 x 2 + 30 x + 13 y=−5x 2 +30x+13 . Выбери верные варианты. Ветви направлены вверх Ветви направлены вниз Возрастает на промежутке ( − ∞ ; 3 )…

Для решения данной задачи определим свойства параболы, заданной уравнением \( y = -5x^2 + 30x + 13 \). Мы проанализируем ее форму, направление ветвей, а также интервалы возрастания и убывания.

1. Определение формы параболы

Уравнение параболы имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), где:

• \( a = -5 \)
• \( b = 30 \)
• \( c = 13 \)

Так как \( a < 0 \), это означает, что ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение вершины параболы

Формула для нахождения координат вершины параболы, заданной уравнением \( y = ax^2 + bx + c \), следующая: \[ x = -\frac{b}{2a} \]

Подставим значения \( a \) и \( b \): \[ x = -\frac{30}{2 \cdot (-5)} = -\frac{30}{-10} = 3 \]

Теперь найдем значение функции в этой точке, подставив \( x = 3 \) в уравнение: \[ y = -5(3)^2 + 30(3) + 13 \] \[ y = -5(9) + 90 + 13 \] \[ y = -45 + 90 + 13 \] \[ y = 55 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (3, 55) \).

3. Определение интервалов возрастания и убывания

• Парабола возрастает на интервале \( (-\infty, 3) \) и убывает на интервале \( (3, +\infty) \):
  • На интервале \( (-\infty, 3) \) левее вершины — функция возрастает, так как отмеченное значение \( x \) меньше вершины.
  • На интервале \( (3, +\infty) \) правее вершины — функция убывает.

4. Пересечение с осями

• Пересечение с осью \( Oy \) (ось \( y \)) происходит при \( x = 0 \): \[ y = -5(0)^2 + 30(0) + 13 = 13 \] Это значение положительно, значит парабола пересекает ось \( Oy \) выше оси \( Ox \).

Выводы:

Теперь можно выбрать верные утверждения о свойствах параболы:

• Ветви направлены вниз (верно).
• Возрастает на промежутке \( (-\infty, 3) \) (верно).
• Убывает на промежутке \( (3, +\infty) \) (верно).
• Пересекает \( Oy \) выше \( Ox \) (верно).

Ошибочные утверждения:

• Ветви направлены вверх (неверно).
• Возрастает на промежутке \( (3, +\infty) \) (неверно).
• Убывает на промежутке \( (-\infty, 3) \) (неверно).
• Убывает на промежутке \( (3, +\infty) \) (верно, это повторно упомянуто).

Таким образом, верные ответы:

• Ветви направлены вниз
• Возрастает на промежутке \( (-\infty, 3) \)
• Убывает на промежутке \( (3, +\infty) \)
• Пересекает \( Oy \) выше \( Ox \)