Решим задачу пошагово. Рассмотрим ситуацию с раствором соли и проведем необходимые математические вычисления.
Шаг 1: Определим начальное количество соли
Изначально у нас есть 1 литр 12%-ного раствора соли. Это значит, что в 1 литре раствора содержится 12% соли.
Количество соли в 1 литре раствора:
[
C_1 = 12% = 0.12 , \text{(в десятичной форме)}
]
Соль в 1 литре:
[
V_1 = 1 , \text{л} \times 0.12 = 0.12 , \text{кг}
]
Шаг 2: Определим объемы после первого действия
После того как мы отлили 1 л раствора, в бутыли осталось:
[
V_{ост} = V_{бут} - 1 , \text{л}
]
Здесь (V_{бут}) — это первоначальный объем бутыли, который мы хотим найти.
После этого мы добавляем 1 литр воды. Таким образом, общий объем в бутыли теперь равен:
[
V_{нов} = V_{ост} + 1 , \text{л} = V_{бут} - 1 + 1 = V_{бут}
]
Шаг 3: Определим количество соли после первого разового долива
После первого отлива у нас остается:
[
C_{ост} = 12% \times (V_{бут} - 1)
]
И добавив 1 литр воды, количество соли не меняется, но изменяется концентрация:
[
C_{после} = \frac{C_{ост}}{V_{бут}} = \frac{0.12(V_{бут} - 1)}{V_{бут}}
]
Шаг 4: Найдем сколько соли осталось после второго отлива
Теперь отливаем 1 литр еще раз, общее количество соли не меняется:
[
C_{после\ второго\ отлива} = \frac{0.12(V_{бут} - 1)}{V_{бут}} \times (V_{бут} - 1)
]
Шаг 5: Определим новый объем и концентрацию
После второго отлива добавляем 1 литр воды, и у нас снова общий объем:
[
V_{новый} = V_{бут}
]
Теперь у нас 3% -й раствор, следовательно:
[
\frac{C_{после\ второго}}{V_{новый}} = 3%
]
Итак:
[
\frac{C_{после\ второго}}{V_{бут}} = 0.03
]
Шаг 6: Приравнивание и решение уравнения
Теперь подставим все в уравнение и проведем расчёты:
[
\frac{0.12(V_{бут} - 2)}{V_{бут}} = 0.03
]
Умножим обе стороны на (V_{бут}):
[
0.12(V_{бут} - 2) = 0.03V_{бут}
]
Раскроем скобки:
[
0.12V_{бут} - 0.24 = 0.03V_{бут}
]
Переносим всё на одну сторону:
[
0.12V_{бут} - 0.03V_{бут} = 0.24
]
[
0.09V_{бут} = 0.24
]
[
V_{бут} = \frac{0.24}{0.09} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} \approx 8 , \text{л}
]
Ответ
Вместимость бутыли равна 8 литрам.
