Чтобы определить величину максимальных касательных напряжений для заданного напряжённого состояния, рассмотрим куб с указанными нормальными и касательными напряжениями.
Определение максимальных касательных напряжений (τ_max):
Максимальные касательные напряжения для объёмного элемента можно определить с использованием формулы:
[
\tau_{\text{max}} = \frac{1}{2} \sqrt{(σ_x - σ_y)^2 + (σ_y - σ_z)^2 + (σ_z - σ_x)^2 + 6(\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2)}
]
На рисунке показаны:
- (σ_x = 100)
- (σ_y = 0)
- (σ_z = 0)
Касательные напряжения:
- (\tau_{xy} = 0)
- (\tau_{yz} = 0)
- (\tau_{zx} = 0)
Подставим значения в формулу:
[
\tau_{\text{max}} = \frac{1}{2} \sqrt{(100 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 100)^2 + 6 \times (0 + 0 + 0)}
]
[
\tau_{\text{max}} = \frac{1}{2} \sqrt{10000 + 0 + 10000}
]
[
\tau_{\text{max}} = \frac{1}{2} \sqrt{20000}
]
[
\tau_{\text{max}} = \frac{1}{2} \times 141.42 \approx 70.71
]
Таким образом, величина максимальных касательных напряжений ( \tau_{\text{max}} \approx 70 ), что соответствует варианту ответа 3.
