Для решения задачи найдем главные напряжения, угол поворота главных площадок и главные деформации.
Шаг 1: Исходные данные
Даны компоненты тензора напряжений:
[
\sigma_x = -3 , \text{МПа}, \quad \sigma_y = 1 , \text{МПа}, \quad \sigma_z = -7 , \text{МПа}
]
[
\tau_{zy} = 3 , \text{МПа}
]
Шаг 2: Определение главных напряжений
Главные напряжения можно найти решив характеристическое уравнение для тензора напряжений:
[
\left| \begin{array}{ccc}
\sigma_x - \lambda & 0 & 0 \
0 & \sigma_y - \lambda & \tau_{zy} \
0 & \tau_{zy} & \sigma_z - \lambda \
\end{array} \right| = 0
]
Разворачиваем определитель:
[
(\sigma_x - \lambda)((\sigma_y - \lambda)(\sigma_z - \lambda) - \tau_{zy}^2) = 0
]
В нашем случае компоненты вне диагонали, кроме (\tau_{zy}), равны нулю, что упрощает уравнение до:
[
(\sigma_x - \lambda)((\sigma_y - \lambda)(\sigma_z - \lambda) - 9) = 0
]
Подставляем значения и решаем уравнение:
- (\lambda_1 = \sigma_x = -3 , \text{МПа})
[
(\sigma_y - \lambda)(\sigma_z - \lambda) - 9 = 0
]
Решаем квадратное уравнение:
[
(1 - \lambda)(-7 - \lambda) - 9 = 0
]
[
-\lambda^2 + 6\lambda - 16 = 0
]
Дискриминант ((D)):
[
D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100
]
Корни уравнения:
[
\lambda_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 10}{-2}
]
[
\lambda_2 = \frac{-6 + 10}{-2} = -2 , \text{МПа}
]
[
\lambda_3 = \frac{-6 - 10}{-2} = 8 , \text{МПа}
]
Шаг 3: Отвечаем на вопрос
Первое главное напряжение (\lambda_3) (максимальное по модулю):
[
\sigma_1 = 8 , \text{МПа}
]
Ответ
Первое главное напряжение равно 8.00 МПа.
