Дано: E=200 ГПа; μ=0,3 ; σx=−3 МПа; σy=1 МПа; σz=−7 МПа; τzy=3 МПа. Для заданного в точке тела напряженного состояния требуется вычислить главные напряжения, угол поворота главных…

Для решения задачи найдем главные напряжения, угол поворота главных площадок и главные деформации.

Шаг 1: Исходные данные

Даны компоненты тензора напряжений:

\[ \sigma_x = -3 \, \text{МПа}, \quad \sigma_y = 1 \, \text{МПа}, \quad \sigma_z = -7 \, \text{МПа} \]

\[ \tau_{zy} = 3 \, \text{МПа} \]

Шаг 2: Определение главных напряжений

Главные напряжения можно найти решив характеристическое уравнение для тензора напряжений:

\[ \left| \begin{array}{ccc} \sigma_x - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_y - \lambda & \tau_{zy} \\ 0 & \tau_{zy} & \sigma_z - \lambda \\ \end{array} \right| = 0 \]

Разворачиваем определитель:

\[ (\sigma_x - \lambda)((\sigma_y - \lambda)(\sigma_z - \lambda) - \tau_{zy}^2) = 0 \]

В нашем случае компоненты вне диагонали, кроме \(\tau_{zy}\), равны нулю, что упрощает уравнение до:

\[ (\sigma_x - \lambda)((\sigma_y - \lambda)(\sigma_z - \lambda) - 9) = 0 \]

Подставляем значения и решаем уравнение:

1. \(\lambda_1 = \sigma_x = -3 \, \text{МПа}\)

\[ (\sigma_y - \lambda)(\sigma_z - \lambda) - 9 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ (1 - \lambda)(-7 - \lambda) - 9 = 0 \]

\[ -\lambda^2 + 6\lambda - 16 = 0 \]

Дискриминант (\(D\)):

\[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 \]

Корни уравнения:

\[ \lambda_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 10}{-2} \]

\[ \lambda_2 = \frac{-6 + 10}{-2} = -2 \, \text{МПа} \]

\[ \lambda_3 = \frac{-6 - 10}{-2} = 8 \, \text{МПа} \]

Шаг 3: Отвечаем на вопрос

Первое главное напряжение \(\lambda_3\) (максимальное по модулю):

\[ \sigma_1 = 8 \, \text{МПа} \]

Ответ

Первое главное напряжение равно 8.00 МПа.