Дано: E=200 ГПа; μ=0,3 ; σx=−3 МПа; σy=1 МПа; σz=−7 МПа; τzy=3 МПа. Для заданного в точке тела напряженного состояния требуется вычислить главные напряжения, угол поворота главных…

Для решения задачи давайте рассмотрим как найти главные напряжения в заданной точке напряженного состояния.

Шаг 1: Матрица напряжений

Для трехосного состояния напряжений, матрица напряжений выглядит так:

\[ \mathbf{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{xy} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_z \end{bmatrix} \]

В нашей задаче:

• \(\sigma_x = -3\) МПа
• \(\sigma_y = 1\) МПа
• \(\sigma_z = -7\) МПа
• \(\tau_{yz} = 3\) МПа (остальные касательные напряжения считаем нулевыми)

Матрица будет: \[ \mathbf{\sigma} = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & -7 \end{bmatrix} \]

Шаг 2: Характеристическое уравнение

Сначала находим характеристическое уравнение:

\[ \det (\mathbf{\sigma} - \lambda \mathbf{I}) = 0 \]

Вычислим определитель: \[ \det \begin{bmatrix} -3 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 - \lambda & 3 \\ 0 & 3 & -7 - \lambda \end{bmatrix} = 0 \]

Приравняем определитель к нулю и найдем корни (собственные значения), что дает нам главные напряжения.

Шаг 3: Вычисление главных напряжений

Определитель:

\[ (-3 - \lambda)((1 - \lambda)(-7 - \lambda) - 9) = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ (-3 - \lambda)((\lambda^2 + 6 \lambda + 4)) = 0 \]

\(-3 - \lambda = 0\) дает \(\lambda_1 = -3\).

Теперь решим квадратичное:

\[ \lambda^2 + 6\lambda + 4 = 0 \]

Используем формулу:

\[ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1, b = 6, c = 4\).

Подставим значение:

\[ \lambda_{2,3} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2} \]

\[ \lambda_{2,3} = \frac{-6 \pm 4.472}{2} \]

\[ \lambda_2 \approx -0.764 \]

\[ \lambda_3 \approx -9.236 \]

Ответ

Первое главное напряжение (наибольшее) равно приблизительно \(-0.764\) МПа.