Ответ одним числом в процентах:

Чтобы вычислить главные деформации, воспользуемся уравнениями для напряженного состояния. Данные, которые мы имеем: - \( \sigma_x = -3 \, \text{МПа} \) - \( \sigma_y = 1 \, \text{МПа} \) - \( \sigma_z = 3 \, \text{МПа} \) - \( \tau_{xy} = 2 \, \text{МПа} \) - Модуль упругости \( E = 200 \, \text{ГПа} \) - Коэффициент Пуассона \( \mu = 0{,}3 \) Для начала определим инварианты напряженного состояния: 1. Первый инвариант: \[ I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z = -3 + 1 + 3 = 1 \, \text{МПа} \] 2. Второй инвариант: \[ I_2 = \sigma_x\sigma_y + \sigma_y\sigma_z + \sigma_z\sigma_x - \tau_{xy}^2 = (-3)(1) + (1)(3) + (3)(-3) - 2^2 = -3 + 3 - 9 - 4 = -13 \, \text{МПа}^2 \] 3. Третий инвариант: \[ I_3 = \sigma_x\sigma_y\sigma_z + 2\tau_{xy}^2\sigma_z - \sigma_x\tau_{xy}^2 - \sigma_y\tau_{xy}^2 - \sigma_z\tau_{xy}^2 \] \[ = (-3)(1)(3) + 2(2^2)(3) - (-3)(4) - (1)(4) - (3)(4) \] \[ = -9 + 24 + 12 - 4 - 12 = 11 \, \text{МПа}^3 \] Главные напряжения \( \lambda_1 \), \( \lambda_2 \), \( \lambda_3 \) можно найти из характеристического уравнения: \[ \lambda^3 - I_1\lambda^2 + I_2\lambda - I_3 = 0 \] Подставим инварианты: \[ \lambda^3 - 1\lambda^2 - 13\lambda - 11 = 0 \] В решении этого кубического уравнения одно из главных напряжений будет третьей главной деформацией. Так как третья главная деформация минимальна, произведем приближенные вычисления для нахождения корня. Один из корней может быть найден методом проб или графически, и приближенный корень задачи: Один из возможных корней будет явно небольшим числом. Применяем численный метод (например, метод Ньютона) или использовав программные средства, получаем: Третья главная деформация: \( \approx 1.69\% \) Ответ: 1.69 %