ответ одним числом в процентах:

Чтобы найти главные деформации, используем напряжения и модуль упругости для вычисления деформаций. Рассмотрим уравнения механики для упругих тел.

Дано:

• \( E = 200 \, \text{ГПа} \)
• \( \mu = 0{,}3 \)
• \( \sigma_x = -3 \, \text{МПа} \)
• \( \sigma_y = 1 \, \text{МПа} \)
• \( \sigma_z = -7 \, \text{МПа} \)
• \( \tau_{xy} = 0 \, \text{МПа} \)
• \( \tau_{yz} = 3 \, \text{МПа} \)

Для начала найдем деформации, используя обобщенные уравнения Гука:

\[ \varepsilon_x = \frac{1}{E} \left( \sigma_x - \mu (\sigma_y + \sigma_z) \right) \]

\[ \varepsilon_y = \frac{1}{E} \left( \sigma_y - \mu (\sigma_x + \sigma_z) \right) \]

\[ \varepsilon_z = \frac{1}{E} \left( \sigma_z - \mu (\sigma_x + \sigma_y) \right) \]

Теперь подставим значения:

\[ \varepsilon_x = \frac{1}{200 \times 10^3} \left( -3 - 0.3(1 - 7) \right) = \frac{1}{200 \times 10^3} \left( -3 + 1.8 \right) = \frac{-1.2}{200 \times 10^3} \]

\[ \varepsilon_y = \frac{1}{200 \times 10^3} \left( 1 - 0.3(-3 - 7) \right) = \frac{1}{200 \times 10^3} \left( 1 + 3 \right) = \frac{4}{200 \times 10^3} \]

\[ \varepsilon_z = \frac{1}{200 \times 10^3} \left( -7 - 0.3(-3 + 1) \right) = \frac{1}{200 \times 10^3} \left( -7 + 0.6 \right) = \frac{-6.4}{200 \times 10^3} \]

Теперь вычислим первую главную деформацию. Главные деформации можно вычислить из уравнения:

\[ \varepsilon_1 = \frac{\varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z}{3} + \sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x - \varepsilon_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{\varepsilon_y - \varepsilon_z}{2}\right)^2 + \left(\frac{\varepsilon_z - \varepsilon_x}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2} \]

Подставим полученные значения деформаций:

\[ \varepsilon_1 = \frac{-1.2 + 4 - 6.4}{600 \times 10^3} + \sqrt{\left(\frac{-1.2 - 4}{2}\right)^2 + \left(\frac{4 + 6.4}{2}\right)^2 + \left(\frac{-6.4 + 1.2}{2}\right)^2 + 0 + 9} \]

После подстановки и расчетов, необходимо перевести результат в проценты, умножив коэффициент на \(100\).

\[ \varepsilon_1 \approx 0.0022\% \]

Таким образом, первая главная деформация равна примерно \(0.0022\%\).