В долине Стабильно

Для решения задачи 186 разберёмся с постановкой и условиями. **Задача 186:** В долине Стабильности бывают только дожди и солнечные дни. Вероятность дождя, если вчера был солнечный день, равна 0,9. Вероятность, что он выпадет два дня подряд после одного солнечного, равна 0,1. **Какова вероятность, что на третий день будет солнечно, если первый день был солнечным?** **Шаг 1: Определим вероятности переходов.** Из условия: - Вероятность дождя на следующий день после солнечного: \( P(D | S) = 0.9 \) - Вероятность дождя два дня подряд после солнечного: \( P(DD | S) = 0.1 \) **Шаг 2: Найдём вероятности перехода второго дня.** Нас интересует ситуация, когда на третий день солнечно. Для этого возможны следующие случаи: 1. Второй день солнечный \((S_2)\) и третий солнечный \((S_3)\). 2. Второй день дождливый \((D_2)\) и третий солнечный \((S_3)\). Рассмотрим каждый случай: **Случай 1:** 1. Первый день \((S_1)\) солнечный. 2. Второй день \((S_2)\) солнечный: пусть вероятность этого события будет \( P(S_2 | S_1) = x \). 3. Третий день \((S_3)\) солнечный: тогда \( P(S_3 | S_2) = x \). **Случай 2:** 1. Первый день \((S_1)\) солнечный. 2. Второй день \((D_2)\) дождливый: \( P(D_2 | S_1) = 0.9 \). 3. Третий день \((S_3)\) солнечный: пусть вероятность этого события будет \( P(S_3 | D_2) = y \). **Шаг 3: Уравнения.** Известно, что вероятность двух дождливых дней подряд после солнечного равна 0.1: - \( P(DD | S_1) = 0.9y = 0.1 \) - Отсюда находим \( y = \frac{0.1}{0.9} = \frac{1}{9} \). Также: - Вероятность второго дня солнечного: \( P(S_2 | S_1) = 1 - P(D_2 | S_1) = 1 - 0.9 = 0.1 \) **Шаг 4: Ищем итоговую вероятность.** - Вероятность \( P(S_3 | S_1) \) — это суммарные вероятности всех возможных путей, которые ведут к солнечному третьему дню: \[ P(S_3 | S_1) = P(S_2 | S_1) \cdot P(S_3 | S_2) + P(D_2 | S_1) \cdot P(S_3 | D_2) \] \[ P(S_3 | S_1) = 0.1 \cdot 0.1 + 0.9 \cdot \frac{1}{9} \] \[ P(S_3 | S_1) = 0.01 + 0.1 = 0.11 \] **Ответ:** Вероятность, что на третий день будет солнечно, если первый день был солнечным, равна 0.11.