На занятии в математическом кружке предложили сыграть в игру и на доске написали некоторое число. По условиям , можно стереть последнюю цифру или прибавить к написанному числу…
На занятии в математическом кружке предложили сыграть в игру и на доске написали некоторое число. По условиям , можно стереть последнюю цифру или прибавить к написанному числу 2017 и записать полученную сумму , при этом стереть предыдущее число. Играет один человек и указанные действия в любом порядке можно выполнять в неограниченное число раз. Получится ли при каком-нибудь исходе увидеть на доске число 1?
Для решения задачи давайте внимательно проанализируем предложенные действия и возможные результаты.
Условия задачи
У нас есть два действия, которые можно выполнять с числом, записанным на доске:
- Стереть последнюю цифру числа.
- Прибавить 2017 к текущему числу.
Задача
Определить, получится ли в какой-то момент получить число 1 на доске.
Анализ действий
Стирание последней цифры: Если текущее число \( n \) имеет вид \( abcd \) (например, 1234), то после стирания последней цифры мы получим \( abc \) (в нашем примере 123).
Прибавление 2017: Прибавление 2017 к числу \( n \) даст нам \( n + 2017 \).
Стратегия
Чтобы выяснить, можно ли получить число 1, мы можем рассмотреть, какие числа можно получить, начиная с некоторого числа \( n \).
Исходный вариант
Пусть начальное число \( n \) – это \( 1 \). Если мы начнём с 1, можно заметить, что:
- Стереть последнюю цифру с 1 невозможно, так как от 1 ничего не останется.
- Прибавив 2017, мы получим 2018, что не поможет нам вернуться к 1.
Следовательно, если мы начнем с 1, мы не сможем вернуться к 1.
Другие начальные числа
Рассмотрим, что происходит, если начать с большего числа, например 2017:
- Стерев последнюю цифру, получаем 201.
- Прибавив 2017, получаем 4034.
Видим, что повторяя эти процессы, появляется много вариантов, но важно понять, как эти операции влияют на систему в целом. Нам нужно будет рассмотреть все возможные числа, которые можно получить, позже вернуться к 1.
Обратный анализ
Вместо того, чтобы двигаться вперед, давайте попробуем думать в обратном направлении – возможно ли получить 1?
- Если мы уже находимся в каком-то числе \( n \) и хотим получить 1, это означает, что нам необходимо:
- Устранить все цифры, пока не дойдём до 1, или
- Откатить процесс.
Также стоит заметить, что при любом добавлении чисел 2017 мы всегда много раз отходим от 1, и скорее всего, в этих действиях мы не вернёмся к 1.
Вывод
Мы проверили несколько начальных значений и оценили возможные операции:
- Начав с 1, невозможно к нему вернуться.
- При добавлении 2017 к большему началу мы никогда не дойдём до 1, если мы не разорвём процесс.
Ответ
Нет, при каких-либо исходах на доске невозможно получить число 1.
