Четвероклассники участвовали в математической олимпиаде треть из них неверно решили по одной задаче пятая часть неверно решили по две задачи шестая часть неверно решили по три…

Для решения этой задачи давайте пошагово разберемся с условиями и проведем необходимые вычисления.

1. Пусть количество участников обозначим как \( n \). По условию задачи число участников не превышает 30, то есть \( n \leq 30 \).

2. Определим, сколько учеников неверно решили задачи:

   • Треть из участников неверно решила по одной задаче. Это \( \frac{n}{3} \).
   • Пятая часть участников неверно решила по две задачи. Это \( \frac{n}{5} \).
   • Шестая часть участников неверно решила по три задачи. Это \( \frac{n}{6} \).

3. Обозначим количество учеников, которые неправильно решили свои задачи:

   • Учеников, неверно решивших 1 задачу: \( \frac{n}{3} \)
   • Учеников, неверно решивших 2 задачи: \( \frac{n}{5} \)
   • Учеников, неверно решивших 3 задачи: \( \frac{n}{6} \)

4. Теперь мы можем вычислить количество учеников, которые не решили ни одной задачи правильно:

   • Участники, которые неправильно решили по 1 задаче: \( \frac{n}{3} \)
   • Участники, которые неправильно решили по 2 задачам: \( \frac{n}{5} \)
   • Участники, которые неправильно решили по 3 задачам: \( \frac{n}{6} \)

   Чтобы сложить эти значения, необходимо найти общий знаменатель. Общий знаменатель для 3, 5 и 6 — это 30.

   Переведем каждое из дробей в общий знаменатель:

   • \( \frac{n}{3} = \frac{10n}{30} \)
   • \( \frac{n}{5} = \frac{6n}{30} \)
   • \( \frac{n}{6} = \frac{5n}{30} \)

   Теперь складываем: \[ \frac{10n}{30} + \frac{6n}{30} + \frac{5n}{30} = \frac{(10 + 6 + 5)n}{30} = \frac{21n}{30} \]

5. Теперь найдем, сколько учеников решили задачи правильно. Для этого вычтем количество учеников, которые неправильно решили задачи, из общего количества участников: \[ n - \frac{21n}{30} = \frac{30n - 21n}{30} = \frac{9n}{30} = \frac{3n}{10} \]

6. Теперь нужно, чтобы \( \frac{3n}{10} \) было целым числом. Это означает, что \( n \) должно быть кратно 10 (так как 3 и 10 взаимно просты).

7. Переберем возможные значения для \( n \), чтобы уложиться в предел не более 30. Возможные значения:

   • \( n = 10 \)
   • \( n = 20 \)

   Проверим эти случаи.

   Для \( n = 10 \): \[ \frac{3 \cdot 10}{10} = 3 \text{ ученика правильно решили все задачи.} \]

   Для \( n = 20 \): \[ \frac{3 \cdot 20}{10} = 6 \text{ учеников правильно решили все задачи.} \]

8. Вывод: У нас есть два возможных ответа:

   • Если всего 10 участников, то 3 ученика решили все правильно.
   • Если всего 20 участников, то 6 учеников решили все правильно.

Таким образом, в зависимости от значения \( n \) (10 или 20), количество учеников, которые правильно решили все задачи, составляет либо 3, либо 6.