Давайте решим каждую из предложенных задач по порядку.
Задача 380
Условие: Определить сумму внутренних углов правильного многоугольника, если внутренний угол больше внешнего на 108°, 160° и 150°.
Решение:
Сначала вспомним, что для любого многоугольника сумма внутренних углов ( S ) рассчитывается по формуле:
[
S = (n - 2) \times 180^\circ
]
где ( n ) — количество сторон многоугольника.
Внутренний и внешний углы многоугольника связаны следующим образом:
[
\text{Внутренний угол} = \text{Внешний угол} + 180^\circ
]
Зная, что:
[
\text{Внутренний угол} = 180^\circ - \text{Внешний угол}
]
можно записать:
[
180^\circ - \text{Внешний угол} = \text{Внешний угол} + k
]
где ( k ) — данное значение (108°, 160° или 150°).
1. Вариант 1: k = 108°
Сначала выразим внешний угол:
[
180^\circ - \text{Внешний угол} = \text{Внешний угол} + 108^\circ
]
Переписываем уравнение:
[
180^\circ - 108^\circ = 2 \cdot \text{Внешний угол}
]
[
72^\circ = 2 \cdot \text{Внешний угол}
]
[
\text{Внешний угол} = 36^\circ
]
Теперь найдем количество сторон ( n ):
[
\text{Внешний угол} = \frac{360^\circ}{n} \implies n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10
]
Теперь найдем сумму внутренних углов:
[
S = (10 - 2) \times 180^\circ = 8 \times 180^\circ = 1440^\circ
]
2. Вариант 2: k = 160°
Проведем аналогичные расчеты:
[
180^\circ - \text{Внешний угол} = \text{Внешний угол} + 160^\circ
]
[
180^\circ - 160^\circ = 2 \cdot \text{Внешний угол}
]
[
20^\circ = 2 \cdot \text{Внешний угол} \implies \text{Внешний угол} = 10^\circ
]
Теперь находим количество сторон:
[
n = \frac{360^\circ}{10^\circ} = 36
]
Сумма внутренних углов:
[
S = (36 - 2) \times 180^\circ = 34 \times 180^\circ = 6120^\circ
]
3. Вариант 3: k = 150°
Аналогично:
[
180^\circ - \text{Внешний угол} = \text{Внешний угол} + 150^\circ
]
[
30^\circ = 2 \cdot \text{Внешний угол} \implies \text{Внешний угол} = 15^\circ
]
Количество сторон:
[
n = \frac{360^\circ}{15^\circ} = 24
]
Сумма внутренних углов:
[
S = (24 - 2) \times 180^\circ = 22 \times 180^\circ = 3960^\circ
]
Таким образом, результаты:
- Для 108°: сумма внутренних углов = 1440°.
- Для 160°: сумма внутренних углов = 6120°.
- Для 150°: сумма внутренних углов = 3960°.
Задача 381
Условие: Определить меньшую диагональ правильного шестиугольника, сторона которого равна: а) 12 см; б) ( 5\sqrt{3} ) см; в) ( 8\sqrt{6} ) см.
Решение:
Правильный шестиугольник состоит из шести равнобедренных треугольников, и меньшие диагонали соединяют вершины, которые по очереди, пропуская одну.
Диагонали ( d ) шестиугольника можно выразить через сторону ( a ):
[
d = 2a
]
1. а) ( a = 12 ) см:
[
d = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см}
]
2. б) ( a = 5\sqrt{3} ) см:
[
d = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \text{ см}
]
3. в) ( a = 8\sqrt{6} ) см:
[
d = 2 \cdot 8\sqrt{6} = 16\sqrt{6} \text{ см}
]
Таким образом, результаты:
- а) 24 см.
- б) ( 10\sqrt{3} ) см.
- в) ( 16\sqrt{6} ) см.
Задача 382
Условие: Определить стороны четырехугольника, вершины которого являются точки касания окружности со сторонами ромба, описанного около нее. Радиус окружности равен ( r ), острый угол ромба 60°.
Решение:
Пусть стороны ромба равны ( a ), тогда радиус окружности (( r )) можно связать со сторонами и углом.
Формула для радиуса описанной окружности в ромбе:
[
r = \frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2}
]
где ( \alpha ) — острый угол ромба.
Теперь проверим:
[
r = \frac{a \cdot \sin(60^\circ)}{2} = \frac{a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}
]
[
r = \frac{a\sqrt{3}}{4} \implies a = \frac{4r}{\sqrt{3}}
]
Стороны четырехугольника будут равны сторонам ромба, так что каждая сторона:
[
a = \frac{4r}{\sqrt{3}}
]
Таким образом, стороны четырехугольника:
- Все стороны равны ( \frac{4r}{\sqrt{3}} ).
Если у вас есть дополнительные запросы, вопросы или непонятные моменты, не стесняйтесь спрашивать!
