380. Определить сумму внутренних углов правильно-го многоугольника, если внутренний угол его больше внешнего на 108°; 160°; 150°. 381. (Устно.) Определить меньшую диагональ…

Давайте решим каждую из предложенных задач по порядку.

Задача 380

Условие: Определить сумму внутренних углов правильного многоугольника, если внутренний угол больше внешнего на 108°, 160° и 150°.

Решение:

Сначала вспомним, что для любого многоугольника сумма внутренних углов \( S \) рассчитывается по формуле: \[ S = (n - 2) \times 180^\circ \] где \( n \) — количество сторон многоугольника.

Внутренний и внешний углы многоугольника связаны следующим образом: \[ \text{Внутренний угол} = \text{Внешний угол} + 180^\circ \]

Зная, что: \[ \text{Внутренний угол} = 180^\circ - \text{Внешний угол} \] можно записать: \[ 180^\circ - \text{Внешний угол} = \text{Внешний угол} + k \] где \( k \) — данное значение (108°, 160° или 150°).

1. Вариант 1: k = 108°

Сначала выразим внешний угол: \[ 180^\circ - \text{Внешний угол} = \text{Внешний угол} + 108^\circ \] Переписываем уравнение: \[ 180^\circ - 108^\circ = 2 \cdot \text{Внешний угол} \] \[ 72^\circ = 2 \cdot \text{Внешний угол} \] \[ \text{Внешний угол} = 36^\circ \]

Теперь найдем количество сторон \( n \): \[ \text{Внешний угол} = \frac{360^\circ}{n} \implies n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10 \]

Теперь найдем сумму внутренних углов: \[ S = (10 - 2) \times 180^\circ = 8 \times 180^\circ = 1440^\circ \]

2. Вариант 2: k = 160°

Проведем аналогичные расчеты: \[ 180^\circ - \text{Внешний угол} = \text{Внешний угол} + 160^\circ \] \[ 180^\circ - 160^\circ = 2 \cdot \text{Внешний угол} \] \[ 20^\circ = 2 \cdot \text{Внешний угол} \implies \text{Внешний угол} = 10^\circ \] Теперь находим количество сторон: \[ n = \frac{360^\circ}{10^\circ} = 36 \] Сумма внутренних углов: \[ S = (36 - 2) \times 180^\circ = 34 \times 180^\circ = 6120^\circ \]

3. Вариант 3: k = 150°

Аналогично: \[ 180^\circ - \text{Внешний угол} = \text{Внешний угол} + 150^\circ \] \[ 30^\circ = 2 \cdot \text{Внешний угол} \implies \text{Внешний угол} = 15^\circ \] Количество сторон: \[ n = \frac{360^\circ}{15^\circ} = 24 \] Сумма внутренних углов: \[ S = (24 - 2) \times 180^\circ = 22 \times 180^\circ = 3960^\circ \]

Таким образом, результаты:

• Для 108°: сумма внутренних углов = 1440°.
• Для 160°: сумма внутренних углов = 6120°.
• Для 150°: сумма внутренних углов = 3960°.

Задача 381

Условие: Определить меньшую диагональ правильного шестиугольника, сторона которого равна: а) 12 см; б) \( 5\sqrt{3} \) см; в) \( 8\sqrt{6} \) см.

Решение:

Правильный шестиугольник состоит из шести равнобедренных треугольников, и меньшие диагонали соединяют вершины, которые по очереди, пропуская одну.

Диагонали \( d \) шестиугольника можно выразить через сторону \( a \): \[ d = 2a \]

1. а) \( a = 12 \) см:

\[ d = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см} \]

2. б) \( a = 5\sqrt{3} \) см:

\[ d = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \text{ см} \]

3. в) \( a = 8\sqrt{6} \) см:

\[ d = 2 \cdot 8\sqrt{6} = 16\sqrt{6} \text{ см} \]

Таким образом, результаты:

• а) 24 см.
• б) \( 10\sqrt{3} \) см.
• в) \( 16\sqrt{6} \) см.

Задача 382

Условие: Определить стороны четырехугольника, вершины которого являются точки касания окружности со сторонами ромба, описанного около нее. Радиус окружности равен \( r \), острый угол ромба 60°.

Решение:

Пусть стороны ромба равны \( a \), тогда радиус окружности (\( r \)) можно связать со сторонами и углом. Формула для радиуса описанной окружности в ромбе: \[ r = \frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2} \] где \( \alpha \) — острый угол ромба.

Теперь проверим: \[ r = \frac{a \cdot \sin(60^\circ)}{2} = \frac{a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \] \[ r = \frac{a\sqrt{3}}{4} \implies a = \frac{4r}{\sqrt{3}} \]

Стороны четырехугольника будут равны сторонам ромба, так что каждая сторона: \[ a = \frac{4r}{\sqrt{3}} \]

Таким образом, стороны четырехугольника:

• Все стороны равны \( \frac{4r}{\sqrt{3}} \).

Если у вас есть дополнительные запросы, вопросы или непонятные моменты, не стесняйтесь спрашивать!