Для решения задачи о прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, давайте разберемся с данными:
- ABCD — это прямоугольник.
- AB = AD, значит, это квадрат.
- AC = 10 см — это диагональ квадрата ABCD.
- (AA_1 = 3\sqrt{2}) — это высота параллелепипеда.
Найдем сторону квадрата AB:
Так как AC — диагональ квадрата ABCD, можем использовать формулу диагонали квадрата:
[
AC = a\sqrt{2}
]
где (a) — сторона квадрата. Подставим известное (AC):
[
10 = a\sqrt{2}
]
Отсюда найдём (a):
[
a = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10 \times \sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}
]
Подтверждение правильности:
Действительно, если (a = 5\sqrt{2}), то:
[
AC = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 5 \times 2 = 10
]
Значит, сторона квадрата равна (5\sqrt{2}).
Найдем объем параллелепипеда:
Формула объема для прямоугольного параллелепипеда:
[
V = a \cdot a \cdot h
]
где (a) — сторона основания квадрата, (h) — высота параллелепипеда (AA_1).
[
V = (5\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2}) \cdot 3\sqrt{2}
]
[
V = 25 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}
]
[
V = 25 \cdot 3 \cdot 2
]
[
V = 150
]
Таким образом, объем параллелепипеда (150 , \text{см}^3).
