Чтобы решить эту задачу, используем закон всемирного тяготения и рассмотрим необходимые формулы.
Дано:
- Две планеты с одинаковыми массами ( M ).
- Для первой планеты сила притяжения больше в 4 раза.
Формулы:
Сила притяжения между планетой и звездой равна:
[
F = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2}
]
где:
- ( F ) — сила притяжения,
- ( G ) — гравитационная постоянная,
- ( M ) — масса звезды,
- ( m ) — масса планеты,
- ( r ) — радиус орбиты планеты.
Решение:
Обозначим радиусы орбит первой и второй планеты как ( r_1 ) и ( r_2 ) соответственно.
Для первой планеты:
[
F_1 = \frac{G \cdot M \cdot m}{r_1^2}
]
Для второй планеты:
[
F_2 = \frac{G \cdot M \cdot m}{r_2^2}
]
По условию, ( F_1 = 4F_2 ). Подставляем формулы для силы притяжения:
[
\frac{G \cdot M \cdot m}{r_1^2} = 4 \cdot \frac{G \cdot M \cdot m}{r_2^2}
]
Упрощаем, сокращая одинаковые множители:
[
\frac{1}{r_1^2} = \frac{4}{r_2^2}
]
Теперь прологарифмируем обе части:
[
r_2^2 = 4r_1^2
]
Берём квадратный корень:
[
r_2 = 2r_1
]
Ответ:
Отношение радиусов орбит второй и первой планет: ( r_2 : r_1 = 2 : 1 ).
Таким образом, радиус орбиты второй планеты в 2 раза больше радиуса орбиты первой планеты.
