Геометрия 10 класс

Для решения задач по геометрии нам нужно использовать основные формулы и понятия.

Задача 1

Площадь поверхности куба равна 72. Найдите его диагональ.

1. Формула площади поверхности куба: \( S = 6a^2 \).
2. Подставляем данное значение: \( 6a^2 = 72 \).
3. Решаем уравнение: \[ a^2 = \frac{72}{6} = 12 \] \[ a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]
4. Диагональ куба находится по формуле: \( d = a\sqrt{3} \).
5. Подставляем найденное \( a \): \[ d = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6 \]

Ответ: 6

Задача 2

Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 5, высота равна 9. Найдите боковую поверхность призмы.

1. Основание — правильный шестиугольник. Площадь боковой поверхности находится по формуле: \( S_b = P \cdot h \), где \( P \) — периметр основания.
2. Периметр шестиугольника: \( P = 6 \times 5 = 30 \).
3. Боковая поверхность: \[ S_b = 30 \cdot 9 = 270 \]

Ответ: 270

Задача 3

Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, у основания которого лежит ромб с диагоналями, равными 10 и 24, и боковым ребром, равным 13.

1. Площадь ромба: \( S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{10 \cdot 24}{2} = 120 \).
2. Периметр ромба: Если ромб имеет стороны \( a \), то можно использовать теорему Пифагора для нахождения \( a \): \[ a = \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2 + \left(\frac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = 13 \]
3. Периметр ромба: \( P = 4 \cdot 13 = 52 \).
4. Площадь боковой поверхности: \( S_b = P \cdot h = 52 \cdot 13 = 676 \).
5. Полная поверхность: \( S_p = 2S_{осн} + S_b = 2 \cdot 120 + 676 = 916 \).

Ответ: 916

Задача 4

Ребро прямоугольного параллелепипеда равно 2, а его площадь равна 24. Найдите площадь его поверхности.

Не совсем понятно условие: возможно, имеется в виду другая ситуация, так как площадь указана, но семантика неясна.

Задача 5

Основание прямой треугольной призмы — прямоугольный треугольник с катетами 8 и 15, боковое ребро равно 7. Найдите площадь её полной поверхности.

1. Основа призмы — прямоугольный треугольник: его площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60 \]
2. Периметр треугольника: надо найти гипотенузу: \[ c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \]
3. Периметр основания: \( P = 8 + 15 + 17 = 40 \).
4. Площадь боковой поверхности: \( S_b = P \cdot h = 40 \cdot 7 = 280 \).
5. Полная поверхность: \( S_p = 2S_{осн} + S_b = 2 \cdot 60 + 280 = 400 \).

Ответ: 400