Улитка ползёт вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту на 5 см больше чем за предыдущую. За сколько минут…

Чтобы решить задачу, начнем с разбора условия.

1. Данные задачи:

   • Первая скорость улитки: 30 см в первую минуту.
   • Каждая следующая минута улитка ползет на 5 см больше, чем за предыдущую.
   • Высота дерева: 5,25 м, что в сантиметрах равно 525 см (потому что 1 м = 100 см).

2. Постепенное увеличение расстояния: Мы можем записать, сколько улитка проходит в каждую минуту:

   • 1-я минута: 30 см
   • 2-я минута: 30 см + 5 см = 35 см
   • 3-я минута: 35 см + 5 см = 40 см
   • 4-я минута: 40 см + 5 см = 45 см
   • 5-я минута: 45 см + 5 см = 50 см
   • и так далее...

Итак, расстояния, которые улитка проходит за каждой минуту, можно выразить:

• 1-я минута: 30 см
• 2-я минута: 35 см
• 3-я минута: 40 см
• 4-я минута: 45 см
• 5-я минута: 50 см
• n-я минута: 30 + (n - 1) × 5 см

3. Общее расстояние: Чтобы узнать, за сколько минут улитка достигнет 525 см, нужно суммировать расстояния, которые она проходит:
   • S(n) = 30 + 35 + 40 + ... + (30 + (n - 1) × 5)

Это – сумма арифметической прогрессии, где:

• Первый член a1 = 30 см,
• Последний член an = 30 + (n - 1) × 5 см,
• Количество членов n.

Сумма S(n) может быть вычислена по формуле: \[ S(n) = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \] где \( a_n = 30 + (n - 1) \times 5 = 30 + 5n - 5 = 25 + 5n \).

4. Запишем уравнение: Подставляем в формулу: \[ S(n) = \frac{n}{2} \times (30 + (25 + 5n)) \] \[ S(n) = \frac{n}{2} \times (55 + 5n) \] \[ S(n) = \frac{n}{2} \times 5(n + 11) = \frac{5n(n + 11)}{2} \]

5. Решим неравенство для нахождения n: Теперь мы знаем, что S(n) должно быть равно 525 см: \[ \frac{5n(n + 11)}{2} \geq 525 \] Умножим обе стороны на 2: \[ 5n(n + 11) \geq 1050 \] Разделим на 5: \[ n(n + 11) \geq 210 \]

6. Перепишем и решим дискриминант: Решим квадратное уравнение: \[ n^2 + 11n - 210 = 0 \] Теперь находим дискриминант D: \[ D = 11^2 - 4 \times 1 \times (-210) = 121 + 840 = 961 \] \[ n = \frac{-11 \pm \sqrt{961}}{2} \] \[ n = \frac{-11 \pm 31}{2} \] Получаем два значения:

7. \( n = \frac{20}{2} = 10 \)

8. \( n = \frac{-42}{2} = -21 \) (не подходит, так как n не может быть отрицательным)

9. Проверка: Теперь, чтобы убедиться, что 10 минут — это правильный ответ, посчитаем расстояние: \[ S(10) = \frac{10}{2} \times (30 + (25 + 5 \times 10)) = 5 \times (30 + 75) = 5 \times 105 = 525 \text{ см}. \]

Таким образом, улитка достигнет вершины дерева за 10 минут.