1. В треугольнике ABC 4B = 90°, AC = 17 см, BC = 8 см. Найдите: 1) cos C; 2) ctg A.
Решим задачу поэтапно, используя свойства треугольников и тригонометрию.
У нас есть треугольник ABC, где угол \(B\) равен \(90^\circ\) (прямоугольный треугольник). Известны длины катетов:
- AC (гипотенуза) = 17 см
- BC (катет) = 8 см Найдем длину второго катета AB с помощью теоремы Пифагора.
Шаг 1: Находим длину катета AB
Согласно теореме Пифагора: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] Подставим известные значения: \[ 17^2 = AB^2 + 8^2 \] Это упрощается до: \[ 289 = AB^2 + 64 \] Теперь решим уравнение для \(AB^2\): \[ AB^2 = 289 - 64 = 225 \] Теперь извлечем корень: \[ AB = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \]
Шаг 2: Найдем cos C
В угле C (угол между сторонами AB и AC) мы используем определение косинуса: \[ \cos C = \frac{\text{катет, прилежащий к углу C}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AB}{AC} \] Теперь подставим известные значения: \[ \cos C = \frac{15}{17} \]
Шаг 3: Найдем ctg A
Теперь найдём котангенс угла A (угол между сторонами AC и BC): \[ \text{ctg A} = \frac{\text{катет, прилежащий к углу A}}{\text{катет, противолежащий углу A}} = \frac{BC}{AB} \] Подставим известные значения: \[ \text{ctg A} = \frac{8}{15} \]
Ответ:
\(\cos C = \frac{15}{17}\)
\(\text{ctg A} = \frac{8}{15}\)
Таким образом, мы получили значения косинуса угла C и котангенса угла A в прямоугольном треугольнике ABC.
