Чтобы решить систему уравнений методoм подстановки, следуем шагам:
Система уравнений:
[
\begin{cases}
x^2 - xy = 1 \
3x + 2y = 9
\end{cases}
]
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую.
Начнем с уравнения (3x + 2y = 9). Выразим (y) через (x):
[
2y = 9 - 3x
]
[
y = \frac{9 - 3x}{2}
]
Шаг 2: Подставим выражение для (y) в первое уравнение.
Подставляем (y = \frac{9 - 3x}{2}) в уравнение (x^2 - xy = 1):
[
x^2 - x\left(\frac{9 - 3x}{2}\right) = 1
]
Упростим уравнение:
[
x^2 - \frac{x(9 - 3x)}{2} = 1
]
Умножим всё уравнение на 2 для облегчения вычислений:
[
2x^2 - x(9 - 3x) = 2
]
Раскроем скобки:
[
2x^2 - 9x + 3x^2 = 2
]
Объединим подобные члены:
[
5x^2 - 9x = 2
]
[
5x^2 - 9x - 2 = 0
]
Шаг 3: Решим квадратное уравнение.
Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2)
]
[
D = 81 + 40 = 121
]
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два решения:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
[
x_{1,2} = \frac{9 \pm 11}{10}
]
Получаем два решения для (x):
[
x_1 = \frac{20}{10} = 2
]
[
x_2 = \frac{-2}{10} = -0.2
]
Шаг 4: Найдем (y) для каждого (x).
Для (x = 2):
[
y = \frac{9 - 3 \cdot 2}{2} = \frac{9 - 6}{2} = \frac{3}{2}
]
Для (x = -0.2):
[
y = \frac{9 - 3 \cdot (-0.2)}{2} = \frac{9 + 0.6}{2} = \frac{9.6}{2} = 4.8
]
Ответ:
Система имеет два решения:
- (x = 2), (y = \frac{3}{2})
- (x = -0.2), (y = 4.8)
