Решите систему уравнений методом подстановки
Чтобы решить систему уравнений методoм подстановки, следуем шагам:
Система уравнений:
\[ \begin{cases} x^2 - xy = 1 \\ 3x + 2y = 9 \end{cases} \]
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую.
Начнем с уравнения \(3x + 2y = 9\). Выразим \(y\) через \(x\):
\[ 2y = 9 - 3x \] \[ y = \frac{9 - 3x}{2} \]
Шаг 2: Подставим выражение для \(y\) в первое уравнение.
Подставляем \(y = \frac{9 - 3x}{2}\) в уравнение \(x^2 - xy = 1\):
\[ x^2 - x\left(\frac{9 - 3x}{2}\right) = 1 \]
Упростим уравнение: \[ x^2 - \frac{x(9 - 3x)}{2} = 1 \]
Умножим всё уравнение на 2 для облегчения вычислений:
\[ 2x^2 - x(9 - 3x) = 2 \]
Раскроем скобки:
\[ 2x^2 - 9x + 3x^2 = 2 \]
Объединим подобные члены:
\[ 5x^2 - 9x = 2 \]
\[ 5x^2 - 9x - 2 = 0 \]
Шаг 3: Решим квадратное уравнение.
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) \] \[ D = 81 + 40 = 121 \]
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два решения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_{1,2} = \frac{9 \pm 11}{10} \]
Получаем два решения для \(x\):
\[ x_1 = \frac{20}{10} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-2}{10} = -0.2 \]
Шаг 4: Найдем \(y\) для каждого \(x\).
Для \(x = 2\): \[ y = \frac{9 - 3 \cdot 2}{2} = \frac{9 - 6}{2} = \frac{3}{2} \]
Для \(x = -0.2\): \[ y = \frac{9 - 3 \cdot (-0.2)}{2} = \frac{9 + 0.6}{2} = \frac{9.6}{2} = 4.8 \]
Ответ:
Система имеет два решения:
- \(x = 2\), \(y = \frac{3}{2}\)
- \(x = -0.2\), \(y = 4.8\)
