4. Решите задачу. 20 баллов Введите ответ в предложенные ниже поля. Количество баллов зависит от количества правильных ответов. Дана непрерывная случайная величина X X, равномерно…
4. Решите задачу. 20 баллов Введите ответ в предложенные ниже поля. Количество баллов зависит от количества правильных ответов. Дана непрерывная случайная величина X X, равномерно распределённая на отрезке [ 3 ; 11 ] [3;11]. Найдите вероятность: а) события 1 , 5 ≤ X ≤ 8 1,5≤X≤8; б) события, состоящего в том, что X X отклоняется от своего математического ожидания M ( X ) M(X) не более чем на 2 2. Ответ: а) P = P= Число ; б) P = P=
Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться свойствами непрерывной равномерной случайной величины. Рассмотрим каждый пункт.
Дано:
- Случайная величина \( X \) равномерно распределена на отрезке \([3; 11]\).
1. Определение математического ожидания \( M(X) \)
Для равномерного распределения на отрезке \([a; b]\), математическое ожидание \( M(X) \) рассчитывается по формуле: \[ M(X) = \frac{a + b}{2} \] В нашем случае \( a = 3 \) и \( b = 11 \): \[ M(X) = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]
2. Вероятность события \( 1.5 \leq X \leq 8 \)
Теперь найдем вероятность события \( 1.5 \leq X \leq 8 \). Для этого используем формулу вероятности для равномерного распределения: \[ P(a \leq X \leq b) = \frac{b - a}{B - A} \] где \( [A; B] \) — это отрезок, на котором великая величина распределена (в нашем случае \( [3; 11] \)), а \( [a; b] \) — это отрезок, на котором мы ищем вероятность (в нашем случае \( [1.5; 8] \)).
Определим границы интегрирования. Поскольку \( X \) не может быть меньше 3, изменения будут с 3 до 8: \( [3; 8] \).
Найдем длины отрезков:
- Длина отрезка \( [3; 8] \) равна \( 8 - 3 = 5 \).
- Общая длина отрезка \( [3; 11] \) равна \( 11 - 3 = 8 \).
Теперь подставим значения в формулу: \[ P(1.5 \leq X \leq 8) = \frac{5}{8} = 0.625 \]
3. Вероятность события, что \( X \) отклоняется от \( M(X) \) не более чем на 2
Теперь найдем вероятность того, что \( X \) отклоняется от своего математического ожидания не более чем на 2. Это значит, что: \[ M(X) - 2 \leq X \leq M(X) + 2 \] В нашем случае: \[ 7 - 2 \leq X \leq 7 + 2 \quad \Rightarrow \quad 5 \leq X \leq 9 \] Следовательно, мы тоже будем учитывать, что \( X \) не может выходить за пределы отрезка \([3; 11]\). Таким образом, фактически диапазон, в котором мы ищем вероятность, будет \( [5; 9] \).
Определим границы:
- Длина отрезка \( [5; 9] \) равна \( 9 - 5 = 4 \).
Теперь вновь используем формулу вероятности: \[ P(5 \leq X \leq 9) = \frac{4}{8} = 0.5 \]
Ответ:
а) \( P = 0.625 \)
б) \( P = 0.5 \)
