Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться свойствами непрерывной равномерной случайной величины. Рассмотрим каждый пункт.
Дано:
- Случайная величина ( X ) равномерно распределена на отрезке ([3; 11]).
1. Определение математического ожидания ( M(X) )
Для равномерного распределения на отрезке ([a; b]), математическое ожидание ( M(X) ) рассчитывается по формуле:
[
M(X) = \frac{a + b}{2}
]
В нашем случае ( a = 3 ) и ( b = 11 ):
[
M(X) = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7
]
2. Вероятность события ( 1.5 \leq X \leq 8 )
Теперь найдем вероятность события ( 1.5 \leq X \leq 8 ). Для этого используем формулу вероятности для равномерного распределения:
[
P(a \leq X \leq b) = \frac{b - a}{B - A}
]
где ( [A; B] ) — это отрезок, на котором великая величина распределена (в нашем случае ( [3; 11] )), а ( [a; b] ) — это отрезок, на котором мы ищем вероятность (в нашем случае ( [1.5; 8] )).
Определим границы интегрирования. Поскольку ( X ) не может быть меньше 3, изменения будут с 3 до 8:
( [3; 8] ).
Найдем длины отрезков:
- Длина отрезка ( [3; 8] ) равна ( 8 - 3 = 5 ).
- Общая длина отрезка ( [3; 11] ) равна ( 11 - 3 = 8 ).
Теперь подставим значения в формулу:
[
P(1.5 \leq X \leq 8) = \frac{5}{8} = 0.625
]
3. Вероятность события, что ( X ) отклоняется от ( M(X) ) не более чем на 2
Теперь найдем вероятность того, что ( X ) отклоняется от своего математического ожидания не более чем на 2. Это значит, что:
[
M(X) - 2 \leq X \leq M(X) + 2
]
В нашем случае:
[
7 - 2 \leq X \leq 7 + 2 \quad \Rightarrow \quad 5 \leq X \leq 9
]
Следовательно, мы тоже будем учитывать, что ( X ) не может выходить за пределы отрезка ([3; 11]). Таким образом, фактически диапазон, в котором мы ищем вероятность, будет ( [5; 9] ).
Определим границы:
- Длина отрезка ( [5; 9] ) равна ( 9 - 5 = 4 ).
Теперь вновь используем формулу вероятности:
[
P(5 \leq X \leq 9) = \frac{4}{8} = 0.5
]
Ответ:
а) ( P = 0.625 )
б) ( P = 0.5 )
