B правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы, если: a) n = 6, a = 23 см, h = 5 дм; б) n = 5, а = 0,4…

Для решения данной задачи начнем с формулы для расчета площадей боковой и полной поверхности правильной n-угольной призмы.

Площадь боковой поверхности призмы

Формула для вычисления площади боковой поверхности правильной n-угольной призмы: \[ S_b = P_b \cdot h \] где

• \( S_b \) — площадь боковой поверхности,
• \( P_b \) — периметр основания,
• \( h \) — высота призмы.

Периметр основания правильной n-угольной призмы, где длина стороны равна \( a \): \[ P_b = n \cdot a \]

Таким образом, подставляем формулу периметра в формулу площади боковой поверхности: \[ S_b = n \cdot a \cdot h \]

Площадь полной поверхности призмы

Полная площадь поверхности правильной призмы рассчитывается по формуле: \[ S = S_b + 2 \cdot S_п \] где

• \( S \) — полная площадь поверхности,
• \( S_п \) — площадь одного основания.

Площадь основания правильного n-угольника (например, шестиугольника или пятиугольника) можно рассчитать по формуле: \[ S_п = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan\left( \frac{\pi}{n} \right)} \]

Теперь давайте найдем площади боковой и полной поверхности для обоих случаев (a и б).

a) n = 6, a = 23 см, h = 5 дм

Сначала преобразуем все величины в одну систему единиц. Запишем высоту \( h \) в сантиметрах: \[ h = 5 \, \text{дм} = 50 \, \text{см} \]

1. Вычисляем периметр основания: \[ P_b = n \cdot a = 6 \cdot 23 = 138 \, \text{см} \]

2. Вычисляем площадь боковой поверхности: \[ S_b = P_b \cdot h = 138 \cdot 50 = 6900 \, \text{см}^2 \]

3. Вычисляем площадь основания: \[ S_п = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan\left( \frac{\pi}{6} \right)} = \frac{6 \cdot 23^2}{4 \cdot \tan\left( \frac{\pi}{6} \right)} = \frac{6 \cdot 529}{4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3174 \cdot \sqrt{3}}{4} \approx 1370.8 \, \text{см}^2 \]

4. Вычисляем полную поверхность: \[ S = S_b + 2 \cdot S_п = 6900 + 2 \cdot 1370.8 \approx 6900 + 2741.6 = 9641.6 \, \text{см}^2 \]

b) n = 5, a = 0,4 м, h = 10 см

Сначала преобразуем длину стороны в сантиметры: \[ a = 0.4 \, \text{м} = 40 \, \text{см} \]

1. Вычисляем периметр основания: \[ P_b = n \cdot a = 5 \cdot 40 = 200 \, \text{см} \]

2. Вычисляем площадь боковой поверхности: \[ S_b = P_b \cdot h = 200 \cdot 10 = 2000 \, \text{см}^2 \]

3. Вычисляем площадь основания: \[ S_п = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan\left( \frac{\pi}{5} \right)} = \frac{5 \cdot 40^2}{4 \cdot \tan\left( \frac{\pi}{5} \right)} = \frac{5 \cdot 1600}{4 \cdot \tan\left( \frac{\pi}{5} \right)} \approx \frac{8000}{4 \cdot 0.7265} \approx 2756.93 \, \text{см}^2 \]

4. Вычисляем полную поверхность: \[ S = S_b + 2 \cdot S_п = 2000 + 2 \cdot 2756.93 \approx 2000 + 5513.86 = 7513.86 \, \text{см}^2 \]

Ответы

• a) Площадь боковой поверхности: \( 6900 \, \text{см}^2 \); Полная площадь поверхности: \( 9641.6 \, \text{см}^2 \).
• б) Площадь боковой поверхности: \( 2000 \, \text{см}^2 \); Полная площадь поверхности: \( 7513.86 \, \text{см}^2 \).