х²/х²-4=5х-6/х²-4

Давай решим уравнение:

\[ \frac{x^2}{x^2 - 4} = \frac{5x - 6}{x^2 - 4} \]

Шаг 1: Упрощение уравнения

Первое, что мы можем заметить, это то, что правые части уравнения имеют одинаковый знаменатель \(x^2 - 4\). Поскольку знаменатель не равен нулю (необходимо будет это учесть позже), мы можем умножить обе стороны уравнения на \(x^2 - 4\) и избавиться от знаменателя:

\[ x^2 = 5x - 6 \]

Шаг 2: Приведение уравнения к стандартному виду

Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\).

Подставим значения:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

Поскольку дискриминант больше нуля, у нашего уравнения есть два различных корня. Найдем их по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2} \]

Таким образом,

\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2 \]

Шаг 4: Проверка допустимости корней

Нам нужно проверить, что найденные корни не приводят к нулю в знаменателе у оригинального уравнения.

Проверим:

• \(x^2 - 4\) для \(x = 3\): \[ 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \quad (\text{не } 0) \]

• \(x^2 - 4\) для \(x = 2\): \[ 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \quad (\text{это недопустимо}) \]

Таким образом, единственным допустимым корнем является \(x = 3\).

Ответ

Ответ: \(x = 3\)