реши подробно
Давайте подробно разберем предел функции:
\[ \lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{-x}. \]
Шаг 1: Подготовка к решению
Для того чтобы вычислить предел выражения вида \(\left(1 + \frac{a}{x}\right)^{bx}\), можно воспользоваться определением экспоненты через предел:
\[ e^y = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{y}{n}\right)^n. \]
Шаг 2: Преобразование выражения
Перепишем данное выражение, чтобы использовать структуру, подобную формуле:
\[ \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{-x} = \left(\left(1 + \frac{3}{x}\right)^{-\frac{1}{\frac{1}{x}}}\right)^x. \]
Обозначим \( y = -x \), тогда \( y \to \infty \), когда \( x \to -\infty \). Поэтому:
\[ \left(1 + \frac{3}{-y}\right)^y = \left(1 - \frac{3}{y}\right)^y. \]
Шаг 3: Применение логарифма
Переход к экспоненте:
\[ \ln\left(\left(1 - \frac{3}{y}\right)^y\right) = y \ln\left(1 - \frac{3}{y}\right). \]
Используя разложение в ряд Тейлора для логарифма при малых \(\frac{3}{y}\):
\[ \ln\left(1 - \frac{3}{y}\right) \approx -\frac{3}{y}. \]
Тогда:
\[ y \cdot \ln\left(1 - \frac{3}{y}\right) \approx y \cdot \left(-\frac{3}{y}\right) = -3. \]
Шаг 4: Переход к экспоненте
\[ \ln\left(\lim_{y \to \infty} \left(1 - \frac{3}{y}\right)^y\right) = -3 \Rightarrow \text{лимит} = e^{-3}. \]
Ответ:
Предел данного выражения равен \( e^{-3} \).
\[ \lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{-x} = e^{-3}. \]
