Реши подробно

Давайте подробно разберем предел функции: \[ \lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{-x}. \] ### Шаг 1: Подготовка к решению Для того чтобы вычислить предел выражения вида \(\left(1 + \frac{a}{x}\right)^{bx}\), можно воспользоваться определением экспоненты через предел: \[ e^y = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{y}{n}\right)^n. \] ### Шаг 2: Преобразование выражения Перепишем данное выражение, чтобы использовать структуру, подобную формуле: \[ \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{-x} = \left(\left(1 + \frac{3}{x}\right)^{-\frac{1}{\frac{1}{x}}}\right)^x. \] Обозначим \( y = -x \), тогда \( y \to \infty \), когда \( x \to -\infty \). Поэтому: \[ \left(1 + \frac{3}{-y}\right)^y = \left(1 - \frac{3}{y}\right)^y. \] ### Шаг 3: Применение логарифма Переход к экспоненте: \[ \ln\left(\left(1 - \frac{3}{y}\right)^y\right) = y \ln\left(1 - \frac{3}{y}\right). \] Используя разложение в ряд Тейлора для логарифма при малых \(\frac{3}{y}\): \[ \ln\left(1 - \frac{3}{y}\right) \approx -\frac{3}{y}. \] Тогда: \[ y \cdot \ln\left(1 - \frac{3}{y}\right) \approx y \cdot \left(-\frac{3}{y}\right) = -3. \] ### Шаг 4: Переход к экспоненте \[ \ln\left(\lim_{y \to \infty} \left(1 - \frac{3}{y}\right)^y\right) = -3 \Rightarrow \text{лимит} = e^{-3}. \] ### Ответ: Предел данного выражения равен \( e^{-3} \). \[ \lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{-x} = e^{-3}. \]