Шар вписан в цилиндр.площадь поверхности шара равна 137.найдите площадь полной поверхности цилиндра
Решим задачу о нахождении площади полной поверхности цилиндра, в который вписан шар с заданной площадью поверхности.
Шаг 1: Найдем радиус шара
Формула площади поверхности шара:
Площадь поверхности шара \( S \) может быть вычислена по формуле: \[ S = 4 \pi r^2 \] где \( r \) — радиус шара.Используем известное значение площади:
В задаче нам дана площадь поверхности шара равная 137: \[ 4 \pi r^2 = 137 \]Решим уравнение для \( r \):
Разделим обе стороны на \( 4\pi \): \[ r^2 = \frac{137}{4\pi} \] Теперь извлечем квадратный корень: \[ r = \sqrt{\frac{137}{4\pi}} \]
Шаг 2: Найдем высоту и радиус основания цилиндра
Когда шар вписан в цилиндр, его радиус равен радиусу основания цилиндра, и высота цилиндра равна диаметру шара.
Радиус основания цилиндра:
\[ R = r \]Высота цилиндра:
Высота \( h \) цилиндра равна дважды радиусу шара: \[ h = 2r \]
Шаг 3: Найдем площадь полной поверхности цилиндра
Полная площадь поверхности цилиндра \( S_{цилиндра} \) вычисляется по формуле: \[ S_{цилиндра} = 2\pi R h + 2\pi R^2 \] где:
- \( 2\pi R h \) — площадь боковой поверхности,
- \( 2\pi R^2 \) — площади оснований (два круга).
Подставим известные значения:
Заменим \( R \) и \( h \) на \( r \) и \( 2r \): \[ S_{цилиндра} = 2\pi r (2r) + 2\pi r^2 \]
Упрощаем выражение: \[ S_{цилиндра} = 4\pi r^2 + 2\pi r^2 = 6\pi r^2 \]
Подставим значение \( r^2 \): \[ S_{цилиндра} = 6\pi \left( \frac{137}{4\pi} \right) = \frac{6 \cdot 137}{4} = \frac{822}{4} = 205.5 \]
Ответ
Площадь полной поверхности цилиндра составляет 205.5 квадратных единиц.
