Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 297 297 . Найди…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом и постараемся понять, как мы можем найти наибольшее трёхзначное число, которое соответствует всем условиям.

1. Описание задачи: Пусть три цифры трёхзначного числа \( abc \) (где \( a \), \( b \), и \( c \) — это цифры, \( a \neq 0 \) — так как это трёхзначное число) представляют единицы, десятки и сотни соответственно.

   Тогда само число можно записать как: \[ N = 100a + 10b + c \] Записывая число в обратном порядке, получаем: \[ M = 100c + 10b + a \]

   По условию, из числа \( N \) вычитаем число \( M \): \[ N - M = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a - c) \]

   Данное выражение нам нужно сопоставить с числом 297: \[ 99(a - c) = 297 \]

2. Решение уравнения: Делим обе стороны уравнения на 99: \[ a - c = \frac{297}{99} = 3 \]

   Таким образом, мы получили, что: \[ a = c + 3 \]

3. Определение значений a и c: Так как \( a \) и \( c \) — это цифры, то мы видим, что \( c \) может принимать значения от 0 до 6 (включительно), чтобы \( a \) оставалось цифрой и не превышало 9:

   • Если \( c = 0 \), тогда \( a = 3 \).
   • Если \( c = 1 \), тогда \( a = 4 \).
   • Если \( c = 2 \), тогда \( a = 5 \).
   • Если \( c = 3 \), тогда \( a = 6 \).
   • Если \( c = 4 \), тогда \( a = 7 \).
   • Если \( c = 5 \), тогда \( a = 8 \).
   • Если \( c = 6 \), тогда \( a = 9 \).

4. Определение наиболее высокого числа: Теперь нам нужно найти наибольшее трёхзначное число \( abc \). Для этого выясним, при каких значениях \( a \) и \( c \) возможно существование цифры \( b \):

   • При \( c = 6 \), \( a = 9 \). В этом случае, \( b \) может быть любой цифрой от 0 до 9.
   • Таким образом, наибольшее возможное значение \( b = 9 \).

Итак, наибольшее трёхзначное число, соответствующее условию задачи: \[ N = 100 \cdot 9 + 10 \cdot 9 + 6 = 996. \]

5. Проверка: Проверим, действительно ли выполнено условие задачи:

   • Обратное число: \( 699 \).
   • Разность: \[ 996 - 699 = 297. \] Условие выполнено.

6. Ответ: Таким образом, наибольшее трёхзначное число, описанное в задаче, равно 996.