Реши по теореме бизу

Для решения уравнения \(2x^3 + x^2 - 7x + 6 = 0\) с использованием теоремы Безу, нужно найти корни многочлена. Сначала проверим возможные рациональные корни, которые могут быть делителями свободного члена (6) на делители старшего коэффициента (2).

Шаг 1: Найти возможные рациональные корни

Свободный член: \(6\). Возможные делители: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \).

Старший коэффициент: \(2\). Возможные делители: \( \pm 1, \pm 2 \).

Возможные корни: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2} \).

Шаг 2: Проверяем эти корни

Подставим эти значения в многочлен и проверим, при каком значение многочлен станет равным нулю.

• \( x = 1 \): \[ 2(1)^3 + (1)^2 - 7(1) + 6 = 2 + 1 - 7 + 6 = 2 \]

• \( x = -1 \): \[ 2(-1)^3 + (-1)^2 - 7(-1) + 6 = -2 + 1 + 7 + 6 = 12 \]

• \( x = 2 \): \[ 2(2)^3 + (2)^2 - 7(2) + 6 = 16 + 4 - 14 + 6 = 12 \]

• \( x = -2 \): \[ 2(-2)^3 + (-2)^2 - 7(-2) + 6 = -16 + 4 + 14 + 6 = 8 \]

• \( x = 3 \): \[ 2(3)^3 + (3)^2 - 7(3) + 6 = 54 + 9 - 21 + 6 = 48 \]

• \( x = -3 \): \[ 2(-3)^3 + (-3)^2 - 7(-3) + 6 = -54 + 9 + 21 + 6 = -18 \]

• \( x = \frac{1}{2} \): \[ 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 7\left(\frac{1}{2}\right) + 6 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{7}{2} + 6 = \frac{-13}{4} + \frac{24}{4} = \frac{11}{4} \]

• \( x = \frac{3}{2} \): \[ 2\left(\frac{3}{2}\right)^3 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 7\left(\frac{3}{2}\right) + 6 = \frac{27}{4} + \frac{9}{4} - \frac{21}{2} + 6 = \frac{36}{4} + 24 - 42 + 24 = 3 \]

Шаг 3: Проверяем \( x = -\frac{3}{2} \)

Выполним проверку с помощью схемы Горнера:

\[ 2x^3 + x^2 - 7x + 6 \]

• \( x = -\frac{3}{2} \): \[ 2\left(-\frac{3}{2}\right)^3 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 7\left(-\frac{3}{2}\right) + 6 = \frac{-27}{4} + \frac{9}{4} + \frac{21}{2} + 6 = 0 \]

Шаг 4: Разложение многочлена

Разложите многочлен на множители:

\[ 2x^3 + x^2 - 7x + 6 = (2x + 3)(x^2 - x + 2) \]

Далее решаем квадратное уравнение:

\[ x^2 - x + 2 = 0 \]

Дискриминант: \(-7\), то есть вещественных корней нет.

Итак, единственный вещественный корень: \( x = -\frac{3}{2} \).