Для решения данной задачи, будем использовать свойства прямоугольного треугольника. Начнем с того, что обозначим:
- ( d ) — диагональ осевого сечения цилиндра, которая равна 48 см.
- ( \theta ) — угол между диагональю и образующей цилиндра, угол равен 60°.
- ( h ) — высота цилиндра.
- ( r ) — радиус основания цилиндра.
Часть а: Найдем высоту цилиндра ( h )
Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется в осевом сечении. В этом треугольнике:
- ( h ) — противолежащий катет (высота цилиндра).
- ( d ) — гипотенуза (диагональ осевого сечения).
- Угол между гипотенузой ( d ) и прилежащим катетом (образующей цилиндра) равен 60°.
Согласно определению синуса:
[
\sin(\theta) = \frac{h}{d}
]
Здесь подставим значения:
[
\sin(60°) = \frac{h}{48}
]
Зная, что ( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} ):
[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{48}
]
Теперь выразим ( h ):
[
h = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}
]
Часть б: Найдем радиус цилиндра ( r )
Теперь найдем радиус цилиндра. В этом же прямоугольном треугольнике рассмотрим прилежащий катет, который соответствует радиусу цилиндра. С использованием косинуса:
[
\cos(\theta) = \frac{r}{d}
]
Подставляем значения:
[
\cos(60°) = \frac{r}{48}
]
Так как ( \cos(60°) = \frac{1}{2} ), получаем:
[
\frac{1}{2} = \frac{r}{48}
]
Теперь выразим ( r ):
[
r = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24 \text{ см}
]
Часть в: Найдем площадь основания цилиндра ( S )
Площадь основания цилиндра (круг) можно вычислить по формуле:
[
S = \pi r^2
]
Подставляем найденное значение радиуса ( r ):
[
S = \pi \cdot (24)^2 = \pi \cdot 576
]
Таким образом, площадь основания цилиндра равна:
[
S = 576\pi \text{ см}^2
]
Итоговые результаты:
а) Высота цилиндра ( h = 24\sqrt{3} \approx 41.57 ) см.
б) Радиус цилиндра ( r = 24 ) см.
в) Площадь основания цилиндра ( S = 576\pi \approx 1809.56 ) см².
