В математическом классе учится 21 ребёнок, а в филологическом — 13 детей. Для участия в олимпиадах нужно выбрать троих учеников математического класса и пятерых учеников…

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику, а именно сочетания. Нам нужно выбрать троих учеников из 21 в математическом классе и пятерых из 13 в филологическом классе.

1. Выбор учеников из математического класса.
   Мы хотим выбрать 3 ученика из 21. Количество способов выбрать \(k\) элементов из \(n\) считается по формуле сочетаний: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Здесь \(n\) — общее количество учеников, \(k\) — количество выбираемых учеников, а "!" означает факториал числа. Факториал числа \(n\) (обозначается \(n!\)) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\).

   В нашем случае: \[ C(21, 3) = \frac{21!}{3!(21-3)!} = \frac{21!}{3! \cdot 18!} \] Упрощаем: \[ C(21, 3) = \frac{21 \times 20 \times 19}{3 \times 2 \times 1} = \frac{7980}{6} = 1330 \]

2. Выбор учеников из филологического класса.
   Теперь нужно выбрать 5 учеников из 13: \[ C(13, 5) = \frac{13!}{5!(13-5)!} = \frac{13!}{5! \cdot 8!} \] Упрощаем вычисления: \[ C(13, 5) = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{154440}{120} = 1287 \]

3. Общее количество способов выбора.
   Поскольку выбор учеников в математическом и филологическом классах выполняется независимо друг от друга, мы умножаем количество способов выбора: \[ \text{Общее количество способов} = C(21, 3) \times C(13, 5) = 1330 \times 1287 \] Теперь считаем: \[ 1330 \times 1287 = 1719510 \]

Таким образом, общее количество способов выбрать троих учеников из математического класса и пятерых из филологического класса составляет 1719510.