Из прямоугольного листа жести, длина которого 12 дм, а ширина 8 дм, требуется сделать открытую коробку, ширина основания которой в 3 раза меньше длины. Для этого из каждого угла вырезают квадрат и после этого сгибают оставшуюся часть листа в коробку. Составить и решить уравнение . Вычислить периметр даннон заготовки.

Давайте разберём эту задачу по шагам. 1. **Понимание задачи**: У нас есть прямоугольный лист жести размером 12 дм на 8 дм. Мы собираемся создать открытую коробку, вырезав квадраты из каждого угла листа и затем сгибая стороны. При этом ширина основания коробки в 3 раза меньше её длины. 2. **Обозначим переменные**: - Пусть `x` — длина стороны квадрата, который вырезают из каждого угла. - Ширина основания коробки будет равна `y`, а длина — `3y` (из условия задачи). 3. **Составим уравнение для объёма коробки**: - После вырезания квадратов, размеры основания коробки равны: - Длина: \(12 - 2x\) (высчитываем по 2x, так как из каждой стороны вырезаем по x). - Ширина: \(8 - 2x\). - Поскольку ширина основания в 3 раза меньше длины: \[ y = \frac{1}{3}(12 - 2x) \] 4. **Найдём связь между длиной и шириной**: - Из предыдущего уравнения: \[ 3y = 12 - 2x \] - Также знаем, что ширина коробки \(y\) равна: \[ y = 8 - 2x \] 5. **Составим уравнение**: - Подставим выражение для y из второго уравнения в первое: \[ 3(8 - 2x) = 12 - 2x \] - Упрощаем уравнение: \[ 24 - 6x = 12 - 2x \] - Переносим все переменные на одну сторону: \[ 24 - 12 = 6x - 2x \] \[ 12 = 4x \] - Теперь находим x: \[ x = \frac{12}{4} = 3 \] 6. **Подсчёт размеров коробки**: - Теперь можем найти ширину и длину основания: \[ y = 8 - 2x = 8 - 2(3) = 8 - 6 = 2 \] \[ 3y = 3(2) = 6 \] - Таким образом, длина основания коробки составляет 6 дм, а ширина — 2 дм. 7. **Вычисление периметра заготовки**: - Периметр исходного прямоугольника равен: \[ P = 2 \times (длина + ширина) = 2 \times (12 + 8) = 2 \times 20 = 40 \, дм \] Таким образом, мы составили уравнение, поняли, как вырезание квадратов влияет на размеры коробки, и нашли периметр заготовки, который равен 40 дм.