из прямоугольного листа жести, длина которого 12 дм, а ширина 8 дм, требуется сделать открытую коробку, ширина основания которой в 3 раза меньше длины. Для этого из каждого угла…

Давайте разберём эту задачу по шагам.

1. Понимание задачи: У нас есть прямоугольный лист жести размером 12 дм на 8 дм. Мы собираемся создать открытую коробку, вырезав квадраты из каждого угла листа и затем сгибая стороны. При этом ширина основания коробки в 3 раза меньше её длины.

2. Обозначим переменные:

   • Пусть x — длина стороны квадрата, который вырезают из каждого угла.
   • Ширина основания коробки будет равна y, а длина — 3y (из условия задачи).

3. Составим уравнение для объёма коробки:

   • После вырезания квадратов, размеры основания коробки равны:
     • Длина: \(12 - 2x\) (высчитываем по 2x, так как из каждой стороны вырезаем по x).
     • Ширина: \(8 - 2x\).
   • Поскольку ширина основания в 3 раза меньше длины: \[ y = \frac{1}{3}(12 - 2x) \]

4. Найдём связь между длиной и шириной:

   • Из предыдущего уравнения: \[ 3y = 12 - 2x \]
   • Также знаем, что ширина коробки \(y\) равна: \[ y = 8 - 2x \]

5. Составим уравнение:

   • Подставим выражение для y из второго уравнения в первое: \[ 3(8 - 2x) = 12 - 2x \]
   • Упрощаем уравнение: \[ 24 - 6x = 12 - 2x \]
   • Переносим все переменные на одну сторону: \[ 24 - 12 = 6x - 2x \] \[ 12 = 4x \]
   • Теперь находим x: \[ x = \frac{12}{4} = 3 \]

6. Подсчёт размеров коробки:

   • Теперь можем найти ширину и длину основания: \[ y = 8 - 2x = 8 - 2(3) = 8 - 6 = 2 \] \[ 3y = 3(2) = 6 \]
   • Таким образом, длина основания коробки составляет 6 дм, а ширина — 2 дм.

7. Вычисление периметра заготовки:

   • Периметр исходного прямоугольника равен: \[ P = 2 \times (длина + ширина) = 2 \times (12 + 8) = 2 \times 20 = 40 \, дм \]

Таким образом, мы составили уравнение, поняли, как вырезание квадратов влияет на размеры коробки, и нашли периметр заготовки, который равен 40 дм.