Дан рабнобедренный треуголиньник ABC,AB=BC,BC=√97,BD высота,площадь=36см²,найти основание AC

Решим задачу по нахождению основания треугольника \( AC \) в равнобедренном треугольнике \( ABC \). 1. **Дано:** - \( AB = BC \) (равнобедренный треугольник) - \( BC = \sqrt{97} \) - Площадь \( S = 36 \, \text{см}^2 \) 2. **Найдем длину стороны \( AB \):** Так как \( AB = BC \), то \( AB = \sqrt{97} \). 3. **Сформируем формулу площади треугольника:** Площадь треугольника можно выразить как: \[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BD \] где \( AC \) — основание, а \( BD \) — высота к этому основанию. 4. **Найдем высоту \( BD \):** Мы знаем, что площадь равна \( 36 \), тогда можно выразить \( BD \) через площадь: \[ 36 = \frac{1}{2} \times AC \times BD \implies AC \times BD = 72 \] 5. **Найдем сторону \( AC \):** Теперь, чтобы найти \( AC \), необходимо знать \( BD \). Воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника. Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам. Пусть \( M \) — середина \( AC \), тогда: \[ AM = \frac{AC}{2} \] Также в треугольнике \( ABD \) (или \( BDC \)) применим теорему Пифагора: \[ AB^2 = AM^2 + BD^2 \] Подставим известные значения: \[ (\sqrt{97})^2 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2 + BD^2 \] \[ 97 = \frac{AC^2}{4} + BD^2 \] 6. **Из двух уравнений:** У нас есть: \[ 72 = AC \times BD \, \quad (1) \] \[ 97 = \frac{AC^2}{4} + BD^2 \, \quad (2) \] Из уравнения (1) выразим \( BD \): \[ BD = \frac{72}{AC} \] Подставим это значение в уравнение (2): \[ 97 = \frac{AC^2}{4} + \left(\frac{72}{AC}\right)^2 \] Упрощаем: \[ 97 = \frac{AC^2}{4} + \frac{5184}{AC^2} \] 7. **Умножим всё уравнение на \( 4AC^2 \) чтобы избавиться от дробей:** \[ 388AC^2 = AC^4 + 20736 \] Переносим всё в одну сторону: \[ AC^4 - 388AC^2 + 20736 = 0 \] Обозначим \( x = AC^2 \): \[ x^2 - 388x + 20736 = 0 \] 8. **Решим квадратное уравнение:** Используем формулу для нахождения корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a=1, b=-388, c=20736 \): \[ x = \frac{388 \pm \sqrt{388^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20736}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{388 \pm \sqrt{150544 - 82944}}{2} \] \[ x = \frac{388 \pm \sqrt{67600}}{2} \] \[ x = \frac{388 \pm 260}{2} \] Рассмотрим два случая: \[ x_1 = \frac{648}{2} = 324 \quad (AC^2 = 324 \Rightarrow AC = 18) \] \[ x_2 = \frac{128}{2} = 64 \quad (не актуально, т.к. не может быть отрицательного корня) \] 9. **Таким образом, длина основания \( AC \):** \[ AC = 18 \, \text{см} \] **Ответ:** Длина основания \( AC \) равна \( 18 \, \text{см} \).