дан рабнобедренный треуголиньник ABC,AB=BC,BC=√97,BD высота,площадь=36см²,найти основание AC

Решим задачу по нахождению основания треугольника \( AC \) в равнобедренном треугольнике \( ABC \).

1. Дано:

   • \( AB = BC \) (равнобедренный треугольник)
   • \( BC = \sqrt{97} \)
   • Площадь \( S = 36 \, \text{см}^2 \)

2. Найдем длину стороны \( AB \): Так как \( AB = BC \), то \( AB = \sqrt{97} \).

3. Сформируем формулу площади треугольника: Площадь треугольника можно выразить как: \[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BD \] где \( AC \) — основание, а \( BD \) — высота к этому основанию.

4. Найдем высоту \( BD \): Мы знаем, что площадь равна \( 36 \), тогда можно выразить \( BD \) через площадь: \[ 36 = \frac{1}{2} \times AC \times BD \implies AC \times BD = 72 \]

5. Найдем сторону \( AC \): Теперь, чтобы найти \( AC \), необходимо знать \( BD \). Воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника.

   Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам. Пусть \( M \) — середина \( AC \), тогда: \[ AM = \frac{AC}{2} \]

   Также в треугольнике \( ABD \) (или \( BDC \)) применим теорему Пифагора: \[ AB^2 = AM^2 + BD^2 \]

   Подставим известные значения: \[ (\sqrt{97})^2 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2 + BD^2 \] \[ 97 = \frac{AC^2}{4} + BD^2 \]

6. Из двух уравнений: У нас есть: \[ 72 = AC \times BD \, \quad (1) \] \[ 97 = \frac{AC^2}{4} + BD^2 \, \quad (2) \]

   Из уравнения (1) выразим \( BD \): \[ BD = \frac{72}{AC} \]

   Подставим это значение в уравнение (2): \[ 97 = \frac{AC^2}{4} + \left(\frac{72}{AC}\right)^2 \] Упрощаем: \[ 97 = \frac{AC^2}{4} + \frac{5184}{AC^2} \]

7. Умножим всё уравнение на \( 4AC^2 \) чтобы избавиться от дробей: \[ 388AC^2 = AC^4 + 20736 \] Переносим всё в одну сторону: \[ AC^4 - 388AC^2 + 20736 = 0 \] Обозначим \( x = AC^2 \): \[ x^2 - 388x + 20736 = 0 \]

8. Решим квадратное уравнение: Используем формулу для нахождения корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a=1, b=-388, c=20736 \): \[ x = \frac{388 \pm \sqrt{388^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20736}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{388 \pm \sqrt{150544 - 82944}}{2} \] \[ x = \frac{388 \pm \sqrt{67600}}{2} \] \[ x = \frac{388 \pm 260}{2} \] Рассмотрим два случая: \[ x_1 = \frac{648}{2} = 324 \quad (AC^2 = 324 \Rightarrow AC = 18) \] \[ x_2 = \frac{128}{2} = 64 \quad (не актуально, т.к. не может быть отрицательного корня) \]

9. Таким образом, длина основания \( AC \): \[ AC = 18 \, \text{см} \]

Ответ: Длина основания \( AC \) равна \( 18 \, \text{см} \).